Odpowiedź :
Odpowiedź:
[tex]F(x) = cos(x)^x - x^2*cos(x)^{(x-1)}*sin(x)+x*cos(x)^xln(cos(x))\\[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Zakładam że przy F(x) = x(cos(x))^x
Używamy wzoru na pochodną iloczynu [tex]F(x)*G(x))' = F'(x)*G(x) + F(x) * G'(x)[/tex]
Potem obliczamy pochodną funkcji złożonej x*cos(x)^x potem "mnożę" to co wyszło przez pochodną funkcji wewnętrznej
rozszerzam wyrażeniie cos(x): [tex]cos(x)=e^{ln(cos(x))}[/tex]
korzystamy z pochodnej łańcuchowej bo musimy obliczyć pochodną z [tex]e^{ln(cos(x))x}[/tex]
[tex]\frac{d}{dx}(f(g))=\frac{d}{dg}(f(g))*\frac{d}{dx}(g)[/tex] gdzie [tex]g=e^{ln(cos(x))x}[/tex]
[tex]F(x)=1cos(x) + e^{g}*(\frac{1}{cos(x)}*-(x *sin(x)) +ln (cos(x))[/tex]
wracam z podstawieniem za g
[tex]F'(x) = 1*cos(x) + x*e^{(ln(cos(x))x)}*\frac{-sin(x)*x +ln(cos(x)*cos(x)}{cos(x)}[/tex]
Upraszczam jak się tylko da:
[tex]F(x) = cos(x)^x - x^2*cos(x)^{(x-1)}*sin(x)+x*cos(x)^xln(cos(x))\\[/tex]
[tex]x^{2}[/tex] ponieważ [tex]ln(a^x)=x*ln(a)[/tex]
