Zastosuję metodą przewidywania, zwaną też metodą wróżenia z fusów
[tex]y_t=p^t\\p^{t+2}-\frac{3}{4}p^{t+1}-\frac{1}{4}p^t=2[/tex]
zacznę od równania jednorodnego
[tex]p^{t+2}-\frac{3}{4}p^{t+1}-\frac{1}{4}p^t=0\\p^2-\frac{3}{4}p-\frac{1}{4}=0\\\Delta =\frac{9}{16}+1=\frac{25}{16}\\p_1=\frac{-3/4-5/4}{2}=-\frac{1}{4}\\p_2=1\\y_t=A\cdot (-\frac{1}{4})^t+B[/tex]
teraz rozwiązanie równanie niejednorodnego. Ponieważ niejednorodność jest postaci
[tex]f_t=2\cdot1^t=2[/tex]
i 1 jest pierwiastkiem (jednokrotnym) równania charakterystycznego, przewiduję rozwiązanie, jako funkcję
[tex]Y_t=C\cdot t[/tex]
podstawiając to rozwiązanie do równania
[tex]C(t+2)-\frac{3}{4}C(t+1)-\frac{1}{4}Ct=2\\2C-\frac{3}{4}C=2\\C=\frac{8}{5}[/tex]
Ostatecznie
[tex]y_t=A\cdot \left(-\frac{1}{4}\right)^t+\frac{8}{5}t+B[/tex]
stałe A,B należy wyznaczyć z warunków początkowych
pozdrawiam
