Odpowiedź
Tak, najlepiej użyć metody graficznej. Załączyłam rysunki.
- Przy rozwiązaniu równań gdzie występują funkcje wymierne należy najpierw wyznaczyć dziedzinę
[tex]D = \mathbb{R} \setminus \{ 0, 2, 4 \}[/tex]
Przy założeniu, że rozpatrujemy tylko x należące do dziedziny, równanie można przekształcić
[tex]\left( \dfrac {x - 2} {x^2 - 2x} \right)^2 - \left( \dfrac {x^2-4} {x-4} \right)^2 = 0\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~\Downarrow[/tex]
[tex]\left( \dfrac {x - 2} {x \cdot (x - 2)} \right)^2 - \left( \dfrac {x^2-4} {x-4} \right)^2 = 0\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~\Downarrow[/tex]
[tex]\dfrac {1} {x^2} - \left( \dfrac {x^2-4} {x-4} \right)^2 = 0\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~\Downarrow[/tex]
[tex]\dfrac {1} {x^2} = \left( \dfrac {x^2-4} {x-4} \right)^2[/tex]
Stąd sporządziłam wykresy takich dwóch funkcji.
[tex]f(x) = \dfrac {1} {x^2}\\\\\\g(x) = \left( \dfrac {x^2-4} {x-4} \right)^2[/tex]
Łatwo zauważyć, że pierwiastkiem równania [tex]f(x) = g(x)[/tex] jest 1. Pozostałe trzeba odczytać z wykresu. Łącznie pierwiastki są
- ≈ -2,5
- = 1
- ≈ 1,5
- ≈ 2
- Przy rozwiązywaniu równania
[tex]\dfrac {\: (x - 5)^3 + (x - 5)^3 \,} {2x} = 300[/tex]
[tex]D = \mathbb{R} \setminus \{ 0 \}[/tex]
Przy założeniu, że rozpatrujemy tylko x należące do dziedziny, równanie można przekształcić na
[tex](x - 5)^3 = 300x[/tex]
Stąd sporządziłam wykresy takich dwóch funkcji.
[tex]f(x) = (x - 5)^3\\\\g(x) = 300x[/tex]
Pierwiastki to (w przybliżeniu)
- ≈ -9
- ≈ -0,5
- ≈ 24
Szczegółowe wyjaśnienie
Przy drugim równaniu zwróć uwagę na skalę osi pionowej.
Do pierwszego równania dodałam jeszcze jeden rysunek (trzeci). Ilustruje on jak się rozwiązuje graficznie. Funkcja f(x) jest na nim narysowana dokładnie, bo mniej więcej wiadomo jak ona ma wyglądać. Ale zamiast dokładnej funkcji g(x) pokazałam jej przybliżenie uzyskane przy pomocy następujących punktów połączonych odcinkami
- A ( -4, 9/4 )
- B ( -3, 25/49 )
- C ( -2, 0 )
- D ( -1, 9/25 )
- E ( 0, 1 )
- F ( 1, 1 )
- G ( 1,5, 49/100 )
- H ( 1,75, 25/144 )
- I ( 2, 0 )
- J ( 3, 25 )
Z tym, że
- punkt J posłużył do zrobienia wykresu ale go obcięłam, ale lepiej było widać interesujący nas fragment,
- punkty G, H dodałam potem, gdy już było widać, że na tamtym odcinku trzeba się dokładniej przyjrzeć.
