Obwód graniastosłupa prawidłowego trójkątnego wynosi 54, a pole jego podstawy wynosi [tex]\frac{9\sqrt{3} }{4}[/tex].
Graniastosłup prawidłowy
Graniastosłup prawidłowy to taki, którego wszystkie krawędzie podstawy są równe (podstawą jest wielokąt foremny, czyli równoboczny).
W naszym zadaniu mamy do czynienia z graniastosłupem prawidłowym trójkątnym. Posiada on 9 krawędzi (dwie podstawy po 3 krawędzie oraz 3 wysokości). W podstawie znajduję się trójkąt równoboczny, a znając długość jego krawędzi możemy obliczyć jego pole, zgodnie ze wzorem:
[tex]P_{p} =\frac{a^{2}*\sqrt{3} }{4}[/tex]
gdzie a to długość krawędzi podstawy.
Rozwiązanie:
Oznaczmy jako:
a - długość krawędzi podstawy graniastosłupa
H - wysokość graniastosłupa
Wiemy, że krawędź boczna jest czterokrotnie dłuższa od krawędzi podstawy zatem:
H = 4*a
Na podstawie wzoru na objętość wyliczamy długość krawędzi podstawy a:
[tex]V = P_{p} * H\\[/tex]
Pamiętamy o wzorze na pole trójkąta równobocznego zatem:
[tex]V = \frac{a^{2}*\sqrt{3} }{4} * 4*a\\27\sqrt{3} = a^{3} *\sqrt{3} /:\sqrt{3}\\27 = a^{3}\\a = 3[/tex]
Obliczamy obwód graniastosłupa:
[tex]Ob = 6 * a + 3 * H \\Ob = 6 * 3 + 3 * 4 * 3 = 18 + 36\\Ob = 54[/tex]
Obwód graniastosłupa wynosi 54.
Obliczamy pole podstawy graniastosłupa:
[tex]P_{p} =\frac{a^{2}*\sqrt{3} }{4} \\P_{p} =\frac{3^{2}*\sqrt{3} }{4}\\P_{p} =\frac{9\sqrt{3} }{4}[/tex]
Pole podstawy graniastosłupa wynosi [tex]\frac{9\sqrt{3} }{4}[/tex].
