Napiszmy równanie Schrödingera dla rozważanej sytuacji. Wewnątrz studni:
[tex]-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\psi(x)=\varepsilon\psi(x)\\\psi(x)=A\sin{(kx+\delta)}\\k=\frac{\sqrt{2m\varepsilon}}{\hbar}[/tex]
z warunków brzegowych:
[tex]\psi(0)=A\sin(\delta)=0\\\psi(L)=A\sin{(kL+\delta)}=0[/tex]
gdyż studnia jest nieskończona i funkcja falowa musi znikać na jej brzegach (prawdopodobieństwo przejścia przez barierę jest zerowe).
[tex]\delta =0\\kL=n\pi\\k=\frac{n\pi}{L}\\\frac{2m\varepsilon}{\hbar^2}=\frac{n^2\pi^2}{L^2}\\\varepsilon_n=\frac{\hbar^2\pi^2}{2mL^2}n^2[/tex]
stan podstawowy odpowiada n=1 (n=0 to trywialne rozwiązanie)
Pozostało jeszcze wyznaczyć stałą A z warunku unormowania
[tex]\left\langle\psi|\psi\right\rangle=A^2\int_0^L\sin^2{(kx)\, dx}=1\\A^2\left(\frac{L}{2}-\frac{\sin{(2kL)}}{4k}\right)=1\\A^2\left(\frac{L}{2}-\frac{\sin{(2n\pi)}}{4k}\right)=1\\A=\sqrt{\frac{2}{L}}[/tex]
[tex]\psi_0(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin{(\frac{\pi}{L} x)}, \ x\in<0;1>[/tex]
szukana prawdopodobieństwo
[tex]P(x_1\leq x\leq x_2)=\int_{x_1}^{x_2}{\frac{2}{L}\sin^2(\frac{\pi x}{L})\, dx}=\frac{2}{L}\left(\frac{x}{2}-\frac{L\sin{(2\pi x/L)}}{4\pi}\right)|_0^{L/3}\\P(x_1\leq x\leq x_2)=\frac{2}{L}\left(\frac{L}{6}-\frac{L\sin{\frac{2\pi}{3}}}{4\pi}\right)=\frac{1}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4\pi}\approx0.1955[/tex]
Tak na wszelki wypadek, jakby matematycy cierpieli:
występujące tu całki można liczyć ze wzorów trygonometrycznych
[tex]\cos{(2kx)}=\cos^2{kx}-\sin^2{kx}=1-2\sin^2{kx}\\\sin^2{kx}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos{2kx}\\\int{\sin^2kx\, dx}=\frac{x}{2}-\frac{\sin2kx}{4k}[/tex]
pozdrawiam