Odpowiedź
Rozwiązaniami rzeczywistymi podanego równania są liczby
[tex]\boxed { \displaystyle x_1 = 18 - 5 \sqrt{13} \approx -0,\!02776 } \\\\\boxed { \displaystyle x_2 = 18 + 5 \sqrt{13} \approx ~ 36,\!02776 }[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie
Rozwiązanie składa się z następujących kroków:
- znalezienia dziedziny równania;
- wyeliminowanie wyrazu ∛(x - 36) poprzez przekształcenie i podniesienie obu stron równania do sześcianu (podniesienie do sześcianu obu stron równania nie zmienia liczby rozwiązań rzeczywistych);
- dla przejrzystości obliczeń podstawienie nowej zmiennej y³ = x (nie zmienia liczby rozwiązań rzeczywistych) i rozwiązanie równania dla zmiennej y;
- wyliczenie zmiennej x mając wartości y.
- Dziedziną zmiennej x jest zbiór liczb rzeczywistych.
- Uproszczenie równania
[tex]\displaystyle \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{x - 36} = 3\\\\\displaystyle \sqrt[3]{x} - 3 = \sqrt[3]{x - 36}\\\\\displaystyle \left( \sqrt[3]{x} - 3 \right)^3 = \left( \sqrt[3]{x - 36} \right)^3\\\\\displaystyle \left( \sqrt[3]{x} \right)^3 - 9 \left( \sqrt[3]{x} \right)^2 + 27 \sqrt[3]{x} - 27 = x - 36\\\\\displaystyle x - 9 \left( \sqrt[3]{x} \right)^2 + 27 \sqrt[3]{x} - 27 = x - 36\\\\\displaystyle ~~~- 9 \left( \sqrt[3]{x} \right)^2 + 27 \sqrt[3]{x} + ~ 9 = 0[/tex]
- Podstawienie y³ = x ( czyli y = ∛x )
[tex]\displaystyle - 9 \left( \sqrt[3]{x} \right)^2 + 27 \sqrt[3]{x} + 9 = 0\\\\\displaystyle - 9 y^2 + 27 y + 9 = 0\\\\\\\displaystyle y^2 - 3 y - 1 = 0\\\\\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13\\\\\\\displaystyle y_1 = \dfrac {3 - \sqrt{13}} {2}\\\\\\\displaystyle y_2 = \dfrac {3 + \sqrt{13}} {2}[/tex]
- Wyliczenie wartości x z otrzymanych rozwiązań dla zmiennej y
[tex]\displaystyle x_1 = y_1^3 = \left( \dfrac {3 - \sqrt{13}} {2} \right)^3 = 18 - 5 \sqrt{13}\\\\\\\displaystyle x_2 = y_2^3 = \left( \dfrac {3 + \sqrt{13}} {2} \right)^3 = 18 + 5 \sqrt{13}[/tex]
