Odpowiedź:
Szczegółowe wyjaśnienie:
Objętość ostrosłupa wyliczymy ze wzoru:
[tex]V=\frac{1}{3} Pp*H[/tex]
Pole całkowite tego ostrosłupa to suma pola podstawy i pól ścian (3 identyczne trójkąty równoboczne):
[tex]Pc = Pp + 3*Ps[/tex]
Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny. Dla trójkąta równobocznego można użyć następującego wzoru na pole:
[tex]Pp= \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}[/tex], a = 5cm
[tex]Pp = \frac{5^{2} *\sqrt{3} }{4} = \frac{25\sqrt{3}}{4}[/tex]
Pole ściany to pole trójkąta równobocznego o wymiarach a = 5cm i b = 10cm.
Zatem wysokość tego trójkąta obliczymy z twierdzenia Pitagorasa:
[tex](\frac{1}{2}a) ^2 + h^2=b^2\\h = \sqrt{b^2 - \frac{1}{4}a^2}\\h = \sqrt{10^2 - \frac{1}{4}*5^2} = \sqrt {100 - 6\frac{1}{4} } = \sqrt{\frac{375}{4} } = \frac{5\sqrt{15} }{2}[/tex]
[tex]Ps = \frac{1}{2} a*h\\Ps = \frac{1}{2} *5*\frac{5\sqrt{15} }{2} = \frac{25\sqrt{15} }{4}[/tex]
Mamy już wszystkie dane do obliczenia pola całkowitego.
[tex]Pc = Pp + 3*Ps\\Pc = \frac{25\sqrt{3} }{4}+3*\frac{25\sqrt{5} }{4} = \frac{25}{4} (\sqrt{3}+3\sqrt5)=6\frac{1}{4}(\sqrt{3}+3\sqrt5)[/tex]
Do obliczenia objętości brakuje nam wysokości ostrosłupa.
Tutaj również możemy posłużyć się twierdzeniem Pitagorasa. Tym razem rozważany trójkąt będzie miał boki o długości: h1, H, b
Obliczamy h1:
h1 stanowi 2/3 wysokości podstawy, czyli
[tex]h_1 = \frac{2}{3}*\frac{a\sqrt{3} }{2} \\h_1 = \frac{2}{3}*\frac{5*\sqrt{3} }{2} = \frac{5\sqrt{3} }{3} \\[/tex]
Wyznaczamy wysokość ostrosłupa:
[tex]h_{1}^2 + H^2 = b^2\\H = \sqrt{b^2-h_1^2} \\H = \sqrt{10^2-(\frac{5\sqrt{3} }{3} )^2} = \sqrt{100-\frac{25}{3} } =\sqrt{\frac{275}{3}} = \frac{5\sqrt{33} }{3}[/tex]
I można obliczyć objętość:
[tex]V=\frac{1}{3} *\frac{25\sqrt{3} }{4}*\frac{5\sqrt{3 3} }{3} = \frac{125\sqrt{11} }{12}= 10\frac{5\sqrt{11} }{12}[/tex]
