Odpowiedź
1a.
[tex]- 2 \left(x - \dfrac 1 4\right)^{\!2} + \dfrac 9 8[/tex]
1b.
[tex]\left(x + \dfrac 1 2\right)^{\!2} - \dfrac {25} 4[/tex]
2a. Postać podana w zadaniu jest już postacią kanoniczną
[tex](x + 2)^2 - 5[/tex] .
Natomiast postacią ogólną jest
[tex]x^2 + 4x - 1[/tex] .
2b. Postać kanoniczna
[tex]-\left(x - \dfrac 7 2 \right)^{\!2} + \dfrac {57} 4[/tex] .
Postać ogólna
[tex]-x^2 + 7x + 2[/tex] .
3. Postać ogólna
[tex]3x^2 - 8x + 4[/tex] ,
postać iloczynowa
[tex]3 \left(x - \dfrac 2 3 \right) (x - 2)[/tex] ,
postać kanoniczna
[tex]3 \left(x - \dfrac 4 3\right)^{\!2} - \dfrac 4 3[/tex] .
4. Postać kanoniczna
[tex]\left(x + \dfrac 3 2 \right)^{\!2} - \dfrac {49} 4[/tex] ,
postać iloczynowa
[tex](x + 5) (x - 2)[/tex] .
4a. Wierzchołek paraboli ma współrzędne
[tex]\left( -\, \dfrac 3 2\,, \: - \,\dfrac {49} 4 \right)[/tex]
4b. Funkcja jest dodatnia dla [tex]x < -5[/tex] oraz [tex]2 < x[/tex] .
Szczegółowe wyjaśnienie
Jeżeli dana jest funkcja kwadratowa
[tex]y=ax^2 + bx + c[/tex]
gdzie
[tex]a \neq 0[/tex] ,
to jej postacią kanoniczną jest
[tex]y =a\left(x-p\right)^2 + q[/tex]
przy oznaczeniach
[tex]\Delta = b^2 - 4ac\\\\\\p = \: - \: \dfrac b {\: 2a \:}\\\\\\q = \: - \: \dfrac {\Delta} {\: 4a \:}[/tex].
Wierzchołkiem paraboli
[tex]y =a\left(x-p\right)^2 + q[/tex]
jest punkt W o współrzędnych (p, q) .
1a.
[tex]\displaystyle y = -2x^2 + x + 1 = - 2 \left(x - \dfrac 1 4\right)^{\!2} + \dfrac 9 8\\\\\Delta = 1^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 1 = 9[/tex]
1b.
[tex]y = (x + 3)(x - 2) = \left(x + \dfrac 1 2\right)^{\!2} - \dfrac {25} 4\\\\\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25[/tex]
2a.
[tex]y = (x + 2)^2 - 5 = x^2 + 4x - 1\\\\\\\Delta = 16 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 20[/tex]
2b.
[tex]y = 3 - (x - 1)^2 + 5x = -x^2 + 7x + 2 = -\left(x - \dfrac 7 2 \right)^{\!2} + \dfrac {57} 4\\\\\Delta = 7^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 2 = 57[/tex]
3.
[tex]y = 3x^2 - 8x + 4 = (3 x - 2) (x - 2) = 3 \left(x - \dfrac 2 3 \right) (x - 2) = 3 \left(x - \dfrac 4 3\right)^{\!2} - \dfrac 4 3\\\\\Delta = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 16\\\\\\x_1 = \dfrac {-(-8) - \sqrt{16}} {2 \cdot 3} = \dfrac 2 3\\\\\\x_2 = \dfrac {-(-8) + \sqrt{16}} {2 \cdot 3} = 2[/tex]
4.
[tex]y = x^2 + 3x - 10 = (x + 5) (x - 2) = \left(x + \dfrac 3 2 \right)^{\!2} - \dfrac {49} 4\\\\\Delta = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 49\\\\\\x_1 = \dfrac {-3 - \sqrt{49}} {2 \cdot 1} = -5\\\\\\x_2 = \dfrac {-3 + \sqrt{49}} {2 \cdot 1} = 2[/tex]