Aga
Rozwiązane

Wykaż, że wielomian W(x) = 3x⁴ + 4x³ - 36x² + 360 nie ma miejsc zerowych.

[Wakacyjna lista wyzwań (2021) ; 63]



Odpowiedź :

Piok

Zauważmy, że  

[tex]$ 3x^4 + 4x^3 - 36x^2 + 360=$[/tex]

[tex]$\left(-15 +\sqrt{3} x^2+\frac{2 x}{\sqrt{3}}\right)^2-\frac{2}{3} \left(56-45 \sqrt{3}\right) x^2+20 \sqrt{3} x+135$[/tex]

pierwszy kwadrat jest nieujemny potem jest parabola której wyróżnik jest ujemny, a ramiona są skierowane w górę.   

Odpowiedź

Skorzystajmy z tożsamości

   [tex]\displaystyle 3x^4 + 4x^3 - 36x^2 + 360 = 3 \cdot \left(x^2 + \dfrac 2 {\,3\,} x - 7 \right)^{\!\!2} + \dfrac {\,1\,} 3 \bigg(14 (x + 3)^2 + 513 \bigg)[/tex]

Pierwszy składnik sumy jest nieujemny

   [tex]\displaystyle 0 ~~ \leqslant ~~ 3 \cdot \left(x^2 + \dfrac 2 {\,3\,} x - 7 \right)^{\!\!2}[/tex] ,

a drugi jest zawsze dodatni

   [tex]\displaystyle 0 ~~ < ~~ \dfrac {\:1\,} 3 \bigg( 14 (x + 3)^2 + 513 \bigg)[/tex] .

Ponieważ W(x) jest sumą wyrazów nieujemnego oraz dodatniego

   [tex]\displaystyle \bigwedge_{x \in \mathbb R } 3x^4 + 4x^3 - 36x^2 + 360 ~> ~0[/tex]  ,

zatem W(x) nie ma miejsc zerowych.

Szczegółowe wyjaśnienie

Jest nieskończenie wiele przedstawień wielomianu W(x) mających składniki nieujemny oraz dodatni. Wybrałam takie, które ładnie wygląda. :-)

Inne Pytanie