Odpowiedź :
Zapiszę funkcję położenia w jawnej postaci:
[tex]x(t)=4t-8.9t^3=t(4-8.9t^2)[/tex]
Niestety mamy tu do czynienia z zawracaniem.
Jeśli chcemy znaleźć średnią prędkość, jako średni wektor, wtedy
[tex]\vec{V}_{sr}=\frac{\vec{x}(t)}{t}=\frac{4-8.9}{1}=-4.9m/s[/tex]
z reguły jednak interesuje nas nie średnią prędkość, ale średnia z modułu prędkości. W tym wypadku należy się posłużyć definicją
[tex]V_{sr}=\frac{s}{t}[/tex]
gdzie s jest przebytą drogą.
Najpierw zatem wyznaczę prędkość w dowolnej chwili czasu
[tex]V(t)=a+3bt^2=4-26.7t^2[/tex]
prędkość zmienia znak w chwili
[tex]\tau=\sqrt{\frac{4}{26.7}}\approx0.387s[/tex]
zatem
[tex]x(\tau)=4\tau+8.9\tau^3\approx1.03m\\x(1)=4-8.9=-4.9m[/tex]
czyli ciało do momentu zatrzymania pokonuje ok 1.03m, zaś na końcu 1s znajduje się w położeniu -4.9m, co oznacza, że pokonało (od momentu zatrzymania) ok. 5.93m, a w tracie całego swojego ruchu (do końca 1s) ok. 6.96m, zatem średnia wartość prędkości to:
[tex]V_{sr}=\frac{6.96m}{1s}=6.96m/s[/tex]
w tym wypadku jednak nie ma takiej odpowiedzi, czyli autor pytania dobrze je sformułował i chodziło dokładnie o to, co napisał: prędkość średnia, jako średnia z wektora i ta wynosi -4.9m/s
pozdrawiam
Odpowiedź D.
−4,900 m/s
Wyjaśnienie
Średnia prędkość, jak i inne wartości średnie, nie jest zdefiniowana w momencie (punkcie), a w przedziale. W punkcie są zdefiniowane wartości chwilowe.
Zadanie rozwiązałam obliczając średnią prędkość w przedziale <0s, 1s>.
Jeżeli wielkość [tex]v(t)[/tex] jest opisana funkcją sumowalną (całkowalną), to średnia wartości funkcji [tex]v(t)[/tex] w przedziale [tex]< t_0, \:t_1 >[/tex] jest wyznaczona przez
[tex]\large \boxed{\displaystyle ~~~~ v_{\'srednia} = \dfrac {1}{t_1 - t_0} \int_{t_0}^{t_1} v(t)\,dt ~~~~ }[/tex] .
Szczególnym przypadkiem (dla funkcji dyskretnej) oraz pierwszym przybliżeniem (zawsze) jest postać
[tex]\large \boxed { ~~ v_{\'srednia} = \dfrac {v(t_1) + v(t_0)} 2 ~~ }[/tex] .
Mamy dane
[tex]x(t) = a \cdot t + b \cdot t^3 = 4 \cdot t - 8,\!9 \cdot t^3\\t_0 = 0s\\t_1 = 1s[/tex]
stąd – mimo, iż zupełnie nie potrzeba! – można wyliczyć, że prędkość
[tex]v(t) = \dfrac {dx(t)} {dt} = a + 3 \cdot b \cdot t^2 = 4 - 26,\!7 \cdot t^2[/tex] .
Nie będę korzystała z tego jak wygląda funkcja prędkości ponieważ znamy jej funkcję pierwotną [tex]x(t)[/tex] .
Zatem
[tex]\displaystyle v_{\'srednia} \:=\: \dfrac {1}{t_1 - t_0} \int_{t_0}^{t_1} v(t)\,dt \:=\: \dfrac {1}{t_1 - t_0} x(t) \Big\rvert _{t_0}^{t_1} \:=\: \dfrac {x(t_1) - x(t_0)}{t_1 - t_0} \:=\: \\\\\\\\ \:=\: \dfrac {4 \cdot t_1 - 8,\!9 \cdot \displaystyle t_1^3 - (4 \cdot t_0 - 8,\!9 \cdot \displaystyle t_0^3) } { t_1 - t_0 } \:=\: \dfrac {4 \cdot 1 - 8,\!9 \cdot 1 - (4 \cdot 0 - 8,\!9 \cdot 0) } { 1 - 0 } \:=\: \\\\\\ = 4 - 8,\!9 \:=\: -4,\!9[/tex]
