Jkolawska
Rozwiązane

zbadaj monotoniczność ciągu o wyrazie ogólnym an =
[tex] \frac{ {2n}+ 3 }{n + 1} [/tex]
​



Odpowiedź :

Platon1984

[tex]a_{n+1}-a_n=\frac{2n+5}{n+2}-\frac{2n+3}{n+1}=\frac{(2n+5)(n+1)-(2n+3)(n+2)}{(n+2)(n+1)}=\\=\frac{2n^2+7n+5-2n^2-7n-6}{(n+2)(n+1)}=\frac{-1}{(n+2)(n+1)}<0[/tex]

mianownik jest oczywiście dodatni, zatem ujemny licznik decyduje, że różnica dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest ujemna - ciąg jest malejący

pozdrawiam

Basetla

Odpowiedź:

Ciąg jest malejący.

Szczegółowe wyjaśnienie:

[tex]a_{n} = \frac{2n+3}{n+1}\\\\a_{n+1} = \frac{2(n+1)+3}{n+1+1} = \frac{2n+2+3}{n+2} = \frac{2n+5}{n+2}\\\\\\\\a_{n+1}-a_{n} = \frac{2n+5}{n+2} - \frac{2n+3}{n+1} = \frac{(n+1)(2n+5)-(n+2)(2n+3)}{(n+2)(n+1)} = \frac{2n^{2}+5n+2n+5-2n^{2}-3n-4n-6}{(n+2)(n+1)} =\\=\frac{-1}{(n+2)(n+1)} < 0, \ ciag \ jest \ malejacy\\\\\\(n+2)(n+1) > 0[/tex]

Inne Pytanie