Rozwiązanie:
Zacznijmy od tego, że środek okręgu wpisanego w trójkąt leży w punkcie przecięcia się dwusiecznych tego trójkąta. Stąd:
[tex]\angle SAB=\alpha \\\angle SBA=\beta[/tex]
Ponadto [tex]\angle ACB=\alpha +\beta=2(180^{o}-(110^{o}+\beta ))=2(70^{o}-\beta)=140^{o}-2\beta \\[/tex]. Zatem:
[tex]\alpha +3\beta =140^{o}[/tex]
Z sumy miar kątów wewnętrznych trójkąta:
[tex]\alpha +\beta +2\alpha +2\beta =180^{o}\\3(\alpha +\beta )=180^{o}\\\alpha +\beta =60^{o}[/tex]
Zatem otrzymujemy układ dwóch równań:
[tex]-\left\{\begin{array}{ccc}\alpha +3\beta =140^{o}\\\alpha +\beta =60^{o}\\\end{array}\right[/tex]
[tex]2\beta =80^{o}\\\beta =40^{o}[/tex]
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}\alpha=20^{o}\\\beta =40^{o}\\\end{array}\right[/tex]
Miary kątów wewnętrznych rozważanego trójkąta to [tex]\alpha +\beta , 2\alpha[/tex] oraz [tex]2\beta[/tex], czyli [tex]60^{o}, 40^{o}[/tex] i [tex]80^{o}[/tex].
