Cześć!
Wykorzystamy wzór na sumę sinusów: [tex]sin\alpha + sin\beta = 2sin\frac{\alpha + \beta}{2} cos\frac{\alpha - \beta}{2}[/tex]:
[tex]sin47^{\circ}+sin61^{\circ}-sin11^{\circ}-sin25^{\circ}= (sin47^{\circ}+sin61^{\circ}) - (sin11^{\circ}+sin25^{\circ}) =\\\\= (2sin\frac{47^{\circ}+61^{\circ}}{2}cos\frac{47^{\circ}-61^{\circ}}{2}) - (2sin\frac{11^{\circ}+25^{\circ}}{2}cos\frac{11^{\circ}-25^{\circ}}{2}) =\\\\= (2sin\frac{108^{\circ}}{2}cos\frac{-14^{\circ}}{2}) - (2sin\frac{36^{\circ}}{2}cos\frac{-14^{\circ}}{2}) = \\\\=2sin54^{\circ}\cdot cos(-7^{\circ}) - 2sin18^{\circ}\cdot cos(-7^{\circ}) =[/tex]
[tex]= [cos(-7^{\circ})](2sin54^{\circ}-2sin18^{\circ}) = [2cos(-7^{\circ})](sin54^{\circ}-sin18^{\circ})=[/tex]
Cosinus jest funkcją parzystą, zatem [tex]cos(-7^{\circ}) = cos(7^{\circ})[/tex]:
[tex]=2cos7^{\circ}(sin54^{\circ}-sin18^{\circ}) =[/tex]
Korzystamy ze wzoru na różnicę sinusów: [tex]sin\alpha - sin\beta = 2cos\frac{\alpha + \beta}{2} sin\frac{\alpha - \beta}{2}[/tex]:
[tex]=2cos7^{\circ}(2cos\frac{54^{\circ}+18^{\circ}}{2}sin\frac{54^{\circ}-18^{\circ}}{2}) = 2cos7^{\circ}(2cos\frac{72^{\circ}}{2}sin\frac{36^{\circ}}{2}) =\\\\= 2cos7^{\circ}(2cos36^{\circ}sin18^{\circ}) = 4cos7^{\circ}cos36^{\circ}sin18^{\circ} =[/tex]
Możemy zapisać równoważnie:
[tex]=\frac{4cos7^{\circ}cos36^{\circ}sin18^{\circ} \cdot cos18^{\circ}}{cos18^{\circ}} =[/tex]
Teraz mnożenie czwórki możemy rozdzielić na:
[tex]= \frac{2cos7^{\circ}cos36^{\circ} \cdot 2sin18^{\circ}cos18^{\circ}}{cos18^{\circ}} =[/tex]
A stąd wzór dot. funkcji podwojonego kąta: [tex]2sin\alpha cos\alpha = sin(2\alpha)[/tex]:
[tex]= \frac{2cos7^{\circ}cos36^{\circ}sin(2\cdot 18^{\circ})}{cos18^{\circ}} = \frac{cos7^{\circ}\cdot 2cos36^{\circ}sin36^{\circ}}{cos18^{\circ}} =[/tex]
Ponownie wzór:
[tex]= \frac{cos7^{\circ}sin(2\cdot 36^{\circ})}{cos18^{\circ}} = \frac{cos7^{\circ}sin72^{\circ}}{cos18^{\circ}} = \frac{cos7^{\circ}sin(90^{\circ}-18^{\circ})}{cos18^{\circ}} =[/tex]
Ze wzoru redukcyjnego [tex]sin(90^{\circ}-\alpha) = cos\alpha[/tex], ponieważ przy kącie 90° funkcja przechodzi w kofunkcję, zatem sinus zmienia się na cosinusa. Wyrażenie [tex]90^{\circ}-\alpha[/tex] to pierwsza ćwiartka układu współrzędnych, gdzie wszystkie funkcje trygonometryczne są dodatnie, zatem nasz [tex]cos\alpha[/tex] jest dodatni:
[tex]= \frac{cos7^{\circ}cos18^{\circ}}{\notcos18^{\circ}} =[/tex]
Skracamy [tex]cos18^{\circ}[/tex] i otrzymujemy:
[tex]= cos7^{\circ}[/tex], do czego należało doprowadzić równość.
Pozdrawiam!
