Odpowiedź :
Zadanie 1
Dane są punkty:
[tex]A=(-5,\frac{1}{3}), \ czyli\ x_{A}=-5,\ y_{A}=\frac{1}{3}[/tex]
[tex]B=(3,0), \ zatem\ x_{B}=3, \ y_{B}=0[/tex]
Funkcję liniową określamy wzorem [tex]y=ax+b[/tex].
Znając dwa punkty, przez które przechodzi prosta, tworzymy układ równań (podstawiamy do wzoru funkcji wartości [tex]x[/tex] i [tex]y[/tex] punktów A i B):
[tex]\left\{ \begin{array}{ll}y_{A}=ax_{A}+b\\y_{B}=ax_{B}+b\\\end{array} \right.[/tex]
W wyniku otrzymamy wartości współczynnika kierunkowego [tex]a[/tex] oraz wyrazu wolnego [tex]b[/tex]:
[tex]\left\{ \begin{array}{ll}\frac{1}{3}=a\cdot(-5)+b\\0=a\cdot3+b\\\end{array} \right.\\\\\left\{ \begin{array}{ll}\frac{1}{3}=-5a+b\\0=3a+b\ \ \ \ \ |\cdot(-1)\\\end{array} \right.\\\\\left\{ \begin{array}{ll}\frac{1}{3}=-5a+b\\0=-3a-b\ \ \ (+)\\\end{array} \right.\\----------\\\frac{1}{3}+0=-5a+(-3a)+b-b\\\frac{1}{3}=-8a\ \ \ \ \ |:(-8)\\a=-\frac{1}{24}[/tex]
[tex]0=3a+b\\b=-3a\\b=-3\cdot(-\frac{1}{24})\\b=\frac{3}{24}[/tex]
Stąd wzór szukanej funkcji ma postać:
[tex]\boxed{y=-\frac{1}{24}x+\frac{3}{24}}[/tex]
Zadanie 2
Dana jest prosta prostopadła l o wzorze [tex]12x + 4 = 3y[/tex] oraz punkt [tex]P = (-3, -1)[/tex].
Proste są prostopadłe, jeśli iloczyn ich współczynników kierunkowych [tex]a[/tex] wynosi [tex]-1.[/tex] Przekształcam wzór funkcji l, aby odczytać wartość [tex]a[/tex]:
[tex]12x + 4 = 3y\\3y=12x+4 \ \ \ \ \ |:3\\y=4x+\frac{4}{3}[/tex]
Zatem współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do szukanej wynosi 4. Obliczam [tex]a[/tex] szukanej funkcji:
[tex]a_{l}\cdot a=-1\\4\cdot a=-1\ \ \ \ \ |:4\\a=-\frac{1}{4}[/tex]
Podstawiam obliczony współczynnik do wzoru szukanej prostej:
[tex]y=-\frac{1}{4}x+b[/tex]
Wyraz wolny [tex]b[/tex] obliczam podstawiając wartości [tex]x[/tex] i [tex]y[/tex] punktu P do powyższego wzoru:
[tex]x_{P}=-3,\ y_{P}=-1,\ zatem:[/tex]
[tex]-1=-\frac{1}{4}\cdot(-3)+b\\-1=\frac{3}{4}+b\\b=-1-\frac{3}{4}\\b=-1\frac{3}{4}[/tex]
Stąd szukane równanie prostej ma postać:
[tex]\boxed{y=-\frac{1}{4}x-1\frac{3}{4}}[/tex]
Witaj :)
ZADANIE 1. Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt [tex]A(-5;\frac{1}{3} ),\ B(3;0)[/tex].
Rozwiązanie:
To zadanie można rozwiązać na wiele sposobów. Ja zastosuje metodę z układem równań.
Równanie prostej wyraża się następująco:
[tex]y=ax+b,\ a,b\in R[/tex]
Mamy dane dwa punkty. Punkt A o współrzędnych [tex]x_A=-5\ i\ y_A=\frac{1}{3}[/tex] oraz punkt B o współrzędnych [tex]x_B=3\ i\ y_B=0[/tex]. Z tych punktów tworzymy układ równań: podstawiając je za x oraz y w równaniu prostej:
[tex]\displaystyle{\left\{\begin{array}{L} \frac{1}{3}=-5a+b\\\ 0=3a+b\end{array}}[/tex]
Z powyższego układu równań wyliczamy współczynnik kierunkowy naszej prostej (niewiadoma a), oraz wyraz wolny b
[tex]\displaystyle{\left\{\begin{array}{L} \frac{1}{3}=-5a+b\ / \cdot3\\\ 0=3a+b\end{array}}[/tex]
[tex]\displaystyle{\left\{\begin{array}{L} -15a+3b=1\\3a+b=0\end{array}}[/tex]
[tex]\displaystyle{\left\{\begin{array}{L} -15a+3b=1\\b=-3a\end{array}}[/tex]
[tex]\displaystyle{\left\{\begin{array}{L} -15a+3\cdot (-3a)=1\\b=-3a\end{array}}[/tex]
[tex]\displaystyle{\left\{\begin{array}{L} -15a-9a=1\\b=-3a\end{array}}[/tex]
[tex]\displaystyle{\left\{\begin{array}{L} -24a=1/:(-24)\\b=-3a\end{array}}[/tex]
[tex]\displaystyle{\left\{\begin{array}{L} a=-\frac{1}{24} \\b=-3a\end{array}}[/tex]
[tex]\displaystyle{\left\{\begin{array}{L} a=-\frac{1}{24} \\b=-3\cdot(-\frac{1}{24}) \end{array}}[/tex]
[tex]\displaystyle{\left\{\begin{array}{L} a=-\frac{1}{24} \\b=\frac{3}{24} \end{array}}[/tex]
Podstawiamy nasze wyliczone a oraz b do równania prostej:
[tex]y=ax+b\\\\y=-\frac{1}{24}x+\frac{3}{24}[/tex]
ODP.: Równanie prostej przechodzącej prze punkt A oraz B to [tex]\boxed {y=-\frac{1}{24}x+\frac{3}{24}}[/tex]
ZADANIE 2. Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej l o równaniu [tex]l:12x+4=3y[/tex] przechodzącej przez punkt [tex]P(-3;-1)[/tex]
Rozwiązanie:
Niech będą dane dwie proste k oraz l:
[tex]k: y_1=a_1x+b_1\\\\l:y_2=a_2x+b_2[/tex]
Powyższe proste są względem siebie prostopadłe, jeśli ich współczynniki kierunkowe spełniają następującą zależność:
[tex]a_1\cdot a_2=-1[/tex] - jest to warunek prostopadłości dwóch prostych.
Zapiszmy równanie naszej prostej l w nieco innym wydaniu (podzielimy obustronnie przez 3):
[tex]l:y=4x+\frac{4}{3}[/tex]
z warunku prostych prostopadłych otrzymamy:
[tex]a_1\cdot a_2=-1\\\\4a_2=-1 \implies a_2=-\frac{1}{4}[/tex]
Więc współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej l wynosi [tex]-\frac{1}{4}[/tex]
[tex]k:y=-\frac{1}{4} x+b[/tex]
Musimy teraz wyliczyć wartość wyrazu wolnego b. Obliczymy go, podstawiając za x oraz y współrzędne punktu [tex]P(-3;-1),\ gdzie:\ x_P=-3\ i \ y_P=-1[/tex]
[tex]-1=-\frac{1}{4} \cdot (-3)+b\\\\\frac{3}{4} +b=-1\implies b=-\frac{7}{4}[/tex]
Co ostatecznie nam daje:
[tex]k:y=-\frac{1}{4}x-\frac{7}{4}[/tex]
ODP.: Równanie prostej prostopadłej do prostej [tex]l:12x+4=3y[/tex] i przechodzącej przez punkt [tex]P(-3;-1)[/tex] to [tex]\boxed {k:y=-\frac{1}{4}x-\frac{7}{4}}[/tex]
