Cześć!
Załóżmy, że te trzy liczby to [tex](x,y,z)[/tex]
Aby istniał ciąg arytmetyczny, liczby te muszą spełniać warunek: [tex]y=\frac{x+z}{2}[/tex].
Aby istniał ciągu geometryczny, liczby te muszą spełniać warunek: [tex]y^2=xz[/tex]
Zatem te dwa warunki będą zachodziły równocześnie, kiedy:
[tex]$\left\{ \begin{array}{ll}y= \frac{x+z}{2}}\\y^2=xz\end{array} \right.$\\\\\\$\left\{ \begin{array}{ll}y= \frac{x+z}{2}}\\y^2=xz\end{array} \right.$\\\\\\$\left\{ \begin{array}{ll}y^2= (\frac{x+z}{2})^2}\\y^2=xz\end{array} \right.$[/tex]
Zatem:
[tex]y^2=y^2 \Longrightarrow (\frac{x+z}{2})^2 = xz \iff \\\\~~~~~~~~~~\iff \frac{(x+z)^2}{4} = xz \iff\\\\~~~~~~~~~~\iff(x+z)^2=4xz \iff\\\\~~~~~~~~~~\iff x^2+2xz+z^2=4xz \iff\\\\~~~~~~~~~~\iff x^2-2xz+z^2 =0 \iff\\\\~~~~~~~~~~\iff (x-z)^2=0 \iff\\\\~~~~~~~~~~\iff |x-z|=0 \iff\\\\~~~~~~~~~~\iff x-z=0 \iff x=z[/tex]
Skoro [tex]x=z[/tex], to dla przykładu wstawiając do pierwszego równania:
[tex]y=\frac{x+z}{2} \Longrightarrow y=\frac{x+x}{2} \iff y=\frac{2x}{2} \iff y=x[/tex], więc finalnie:
[tex]x=y=z[/tex] i dla takich wartości, trzy liczby będą zarówno tworzyły ciąg geometryczny ([tex]q=1[/tex]), jak i arytmetyczny ([tex]r=0[/tex]).
Pozdrawiam!
