Witaj :)
Mamy do obliczenia całkę postaci:
[tex]\Large \int(\frac{5}{\sqrt{x^5} } +\frac{4}{\sqrt{3-x^2} } -\frac{8}{x^2+5} +7)dx[/tex]
Możemy naszą całkę rozpisać inaczej jako:
[tex]\int(\frac{5}{\sqrt{x^5} } )dx+ \int(\frac{4}{\sqrt{3-x^2} } )dx- \int(\frac{8}{x^2+5} )dx+ \int 7dx[/tex]
Obliczmy każdą z całek osobno:
[tex]I.\ \boxed {\int(\frac{5}{\sqrt{x^5} })dx=5\int (\frac{1}{x^{\frac{5}{2}} })dx =5\int x^{-\frac{5}{2}}dx=5\cdot\frac{x^{-\frac{3}{2}} }{-\frac{3}{2} } =5\cdot (-\frac{2}{3x^{\frac{3}{2} }} )=-\frac{10}{3x^{\frac{3}{2}} } +C}[/tex]
[tex]II.\Large \boxed { \int(\frac{4}{\sqrt{3-x^2} })dx =4\int (\frac{1}{\sqrt{3-x^2} }) dx=4\arcsin(\frac{x}{\sqrt{3} } ) +C }\\\\ \Large na\ mocy\ wzoru: \int\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2} }=\arcsin(\frac{x}{a} )+C[/tex]
[tex]III.\ \boxed {\int\frac{8}{x^2+5} dx=8\int \frac{1}{x^2+5} dx=8\cdot\frac{1}{\sqrt{5} }\arctan(\frac{x}{\sqrt{5} } )=\frac{8 }{\sqrt{5} } \arctan(\frac{x}{\sqrt{5} } )+C}\\\\\\na\ mocy\ wzoru:\ \int\frac{1}{x^2+a^2}dx =\frac{1}{a} \arctan\frac{x}{a}+C[/tex]
[tex]IV.\ \boxed {\int7dx=7x+C}[/tex]
OSTATECZNIE:
[tex]\Large \int(\frac{5}{\sqrt{x^5} } +\frac{4}{\sqrt{3-x^2} } -\frac{8}{x^2+5} +7)dx=-\frac{10}{3x^{\frac{3}{2}} } + 4\arcsin\frac{x}{\sqrt{3} } -\frac{8 }{\sqrt{5} } \arctan\frac{x}{\sqrt{5} }+7x +C \\\\gdzie\ C\in R[/tex]
