Aby zamienić postać ogólną funkcji kwadratowej na postać kanoniczną możemy wykorzystać wzory skróconego mnożenia, dopełniając "do kwadratu":
a)
"Dopełniamy" dwa pierwsze wyrazy wyrazem, który pozwoli "zwinąć" wyrażenie ze wzoru skróconego mnożenia. Oczywiście skoro coś dodajemy, to musimy to też odjąć, żeby nie zmieniła nam się funkcja.
[tex]y=x^2-4x-2\\\\y=\underline{x^2-4x+4}-4-2\\\\y=(x-2)^2-6[/tex]
b)
Przy x² mamy współczynnik różny od 1, więc najpierw musimy go wyłączyć przed nawias.
[tex]y=2x^2-8x+1\\\\y=2(x^2-4x)+1\\\\y=2(x^2-4x+4-4)+1\\\\y=2(x^2-4x+4)-8+1\\\\y=2(x-2)^2-7[/tex]
c)
Przy współczynnikach, które nie dają się łatwo uzupełniać do kwadratu, wygodniej jest skorzystać ze wzoru na współrzędne (p i q) wierzchołka paraboli i podstawić do wzoru na postać kanoniczną {y=a(x-p)²+q}
[tex]y=-3x^2+5x-\frac12\qquad\implies\quad a=-3,\ \ b=5,\ \ c=-\frac12\\\\p=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-5}{2\cdot(-3)}=\dfrac56\\\\q=\dfrac{-\Delta}{4a}=\dfrac{-(b^2-4ac)}{4a}=\dfrac{-[5^2-4\cdot(-3)\cdot(-\frac12)]}{4\cdot(-3)}=\dfrac{-[25-6]}{-12}=\dfrac{19}{12}\\\\\\y=-3(x-\frac56)^2+\frac{19}{12}[/tex]
d)
[tex]y=-\frac12x^2-2x+1\\\\y=-\frac12(x^2+4x)+1\\\\y=-\frac12(x^2+4x+4-4)+1\\\\y=-\frac12(x^2+4x+4)+2+1\\\\y=-\frac12(x+2)^2+3[/tex]
e)
[tex]y=8x^2-x\qquad\implies\quad a=8,\ \ b=-1,\ \ c=0\\\\p=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-(-1)}{2\cdot8}=\dfrac1{16}\\\\q=\dfrac{-\Delta}{4a}=\dfrac{-(b^2-4ac)}{4a}=\dfrac{-[(-1)^2-4\cdot8\cdot0]}{4\cdot8}=\dfrac{-[1-0]}{32}=-\dfrac{1}{32}\\\\\\y=8(x-\frac1{16})^2-\frac{1}{32}[/tex]
f)
[tex]y=-\frac14x^2+x\\\\y=-\frac14(x^2-4x)\\\\y=-\frac14(x^2-4x+4-4)\\\\y=-\frac14(x^2-4x+4)+1\\\\y=-\frac14(x-2)^2+1[/tex]
