Rozwiązane

Proszę o dokładną odpowiedź. Następne zadania będą z innych przedmiotów. Powodzenia :)

[Shizurowa lista wyzwań (2021) ; 4]​



Proszę O Dokładną Odpowiedź Następne Zadania Będą Z Innych Przedmiotów Powodzenia Shizurowa Lista Wyzwań 2021 4 class=

Odpowiedź :

Konrad509

[tex]p[/tex] - krawędź podstawy

[tex]b[/tex] - krawędź boczna

W dowolnym graniastosłupie [tex]n[/tex]-kątnym, a więc i tym bardziej w prawidłowym, krawędzi w podstawie jak i krawędzi bocznych jest

Zatem, możemy zapisać, że:

[tex]np[/tex] - suma długości krawędzi w podstawie w graniastosłupie prawidłowym [tex]n[/tex]-kątnym

[tex]nb[/tex] - suma długości krawędzi bocznych w graniastosłupie prawidłowym [tex]n[/tex]-kątnym

Wykorzystując wprowadzone oznaczenia, zapisujemy twierdzenie z polecenia, a następnie rozwiązujemy otrzymane równanie:

[tex]\dfrac{2np+nb}{n}=p\\2p+b=p\\p=b[/tex]

Z czego wynika, że krawędzie podstawy jak i krawędzie boczne mają równe długości, a więc ściany boczne muszą być kwadratami.

Gharic

Cześć!

Graniastosłup prawidłowy n-kątny [tex](n\geq 3)[/tex] ma w podstawie n-kąt foremny, czyli figurę, która ma [tex]n[/tex] jednakowych boków. Co więcej, skoro jest to graniastosłup, to ma dwie takie same podstawy, zatem w takim graniastosłupie suma długości krawędzi podstaw to na pewno [tex]2 \cdot n \cdot x[/tex] , gdzie

Szukamy średniej arytmetycznej długości wszystkich krawędzi. Graniastosłup prawidłowy n-kątny ma dokładnie [tex]3n[/tex] krawędzi. W naszym przypadku te krawędzie długościami dzielimy na trzy grupy:

  • Krawędzie podstawy dolnej: jak pisałem wcześniej, ich łączna długość to [tex]n \cdot x[/tex]
  • Krawędzie ścian bocznych - pomijamy krawędzie o długości [tex]nx[/tex], ponieważ zawierają się one w podstawach. Zatem rozpatrywane przez nas długości to [tex]n \cdot y[/tex]
  • Krawędzie podstawy górnej: jak pisałem wcześniej, ich łączna długość to [tex]n \cdot x[/tex]

Zatem średnia arytmetyczna długości wszystkich krawędzi wyraża się wzorem [tex]\frac{2nx + ny}{3n}[/tex]. My wiemy, że ta średnia arytmetyczna jest równa długości krawędzi podstawy, czyli [tex]x[/tex], zatem:

[tex]\frac{2nx+ny}{3n} = x\\\\\frac{\not n(2x+y)}{3\not n} = x\\\\\frac{2x+y}{3} = x\\\\2x+y=3x \ |-2x\\\\y=x[/tex]

Pamiętamy, że te dwie literki występowały przy oznaczeniach ściany bocznej, ponieważ powiedzieliśmy, że ściana boczna jest prostokątem o wymiarach [tex]x[/tex] na [tex]y[/tex]. Skoro [tex]x=y[/tex], to ściana boczna staje się kwadratem, co kończy dowód.

Pozdrawiam!

Inne Pytanie