Rozwiązanie:
Ustalmy liczbę czterocyfrową [tex]1000a+100b+10c+d[/tex] dla pewnych [tex]a,b,c,d \in \mathbb{N}[/tex]. Z zadania wiadomo, że:
[tex]11 | \ b+d-(a+c) \iff b+d-a-c=11k[/tex] dla pewnego [tex]k \in \mathbb{N}[/tex]
[tex]b=d=8[/tex]
Zatem nasza liczba jest postaci [tex]1000a+800+10c+8=1000a+10c+808[/tex]. Ponadto [tex]b+d-a-c=11k \iff 16-a-c=11k[/tex]. Teraz szukamy takich [tex]a[/tex] i [tex]c[/tex], że lewa strona równania jest podzielna przez [tex]11[/tex]. Będzie tak, gdy:
[tex]16-a-c=11 \vee 16-a-c=0[/tex]
(pamiętajmy, że [tex]a,c \in \mathbb{N}[/tex])
Z pierwszego warunku uzyskamy następujące pary:
[tex](a,c)=(1,4) \vee (4,1) \vee (2,3) \vee (3,2) \vee (5,0)[/tex]
oraz z drugiego warunku:
[tex](a,c)=(9,7) \vee (7,9) \vee (8,8)[/tex]
Zatem takich liczb jest [tex]8[/tex], największa z nich to [tex]9878[/tex], a najmniejsza to [tex]1848[/tex].
