Odpowiedź:
c) 15
Szczegółowe wyjaśnienie:
Jeśli różnica między wyrazami ciągu jest stała, to ciąg ten zwany jest arytmetycznym. Wzór na jego sumę wymyślił już we wczesnych latach szkolnych niejaki Karol Gauss, kiedy nauczyciel za niesforne zachowanie zadał mu obliczenie sumy liczb od 1 do 100. Późniejszy genialny matematyk, fizyk i astronom podał następujący wzór:
[tex]S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n[/tex]
gdzie a₁ - pierwszy wyraz, aₙ - ostatni wyraz, n - liczba wyrazów.
Mamy dane: pierwszy wyraz i różnicę. Aby obliczyć przy pomocy tych danych dowolny wyraz ciągu, stosujemy wzór pomocniczy, który łatwo wymyślić:
[tex]a_n=a_1+r(n-1)[/tex]
gdzie r jest różnicą. Podstawiamy do pierwszego wzoru i przekształcamy:
[tex]S_n=\frac{a_1+a_1+r(n-1)}{2}\cdot n=\frac{2a_1+r(n-1)}{2}\cdot n\\(2a_1+rn-r)n=2S_n\\rn^2-rn+2a_1n-2S_n=0\\rn^2+(2a_1-r)n-2S_n=0[/tex]
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, czyli typu ax² + bx + c = 0
Stosujemy wzór na tzw. wyróżnik równania Δ, który pomoże obliczyć wartość x (u nas to będzie n - liczba wyrazów):
[tex]\Delta=b^2-4ac\\\\x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}[/tex]
Teraz powinniśmy podstawić pod a, b i c dane z naszego równania:
a = 2r, b = 2a₁ - r, c = -2Sₙ, ale to bardzo by komplikowało wyliczenia, więc upraszczamy sobie rozwiązanie, podstawiając do równania nasze dane:
3n² + (2 · 7 - 3)n - 2 · 420 = 0
3n² + 11n - 840 = 0
[tex]\Delta=11^2-4\cdot3\cdot(-840)=10201\\\\\sqrt{\Delta}=101\\\\n_1=\frac{-11-101}{2\cdot3}\\\\n_2=\frac{-11+101}{2\cdot3}=15[/tex]
Pierwsze rozwiązanie odrzucamy, bo jest liczbą ujemną i na dodatek niecałkowitą. Zatem zostaje n = 15.
Sprawdzenie:
[tex]S_n=\frac{2a_1+r(n-1)}{2}\cdot n=\frac{2\cdot7+3(15-1)}{2}\cdot 15=28\cdot15=420[/tex]
czyli jest OK.
