W konkursie przygotowanym dla pięcioosobowej grupy dzieci nagrody są cukierki. Dziecko które zajęło ostatnie miejsce otrzymuje jednego cukierka, a każde następne trzy razy więcej.
ostatnia ( 5 ) osoba zdobędzie jednego cukierka.
przedostatnia ( 4 ) osoba zdobędzie 1 · 3 = 3 cukierki.
trzecia osoba zdobędzie 3 · 3 = 9 cukierków.
druga osoba zdobędzie 9 · 3 = 27 cukierków.
pierwsza osoba zdobędzie 27 · 3 cukierków = 81
Teraz dodajemy wszystkie zdobyte cukierki : 81 + 21 + 9 + 3 + 1 = 121 cukierków.
Ilość cukierków dla wszystkich dzieci to 121.
Odpowiedź:
d) 121
Szczegółowe wyjaśnienie:
Ostatnie dziecko dostało: 1 cukierek
Przedostatnie: 1 * 3 = 3 cukierki
Trzecie: 3 * 3 = 9 cukierków
Drugie: 9 * 3 = 27 cukierków
Pierwsze: 27 * 3 = 81 cukierków
Razem: 1 + 1 * 3 + 1 * 3 * 3 + 1 * 3 * 3 * 3 + 1 * 3 * 3 * 3 * 3 =
3⁰ + 3¹ + 3² + 3³ + 3⁴ =1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121 = 11²
Jest to suma potęg o podstawie 3, czyli suma ciągu geometrycznego.
Wzór jest następujący:
[tex]S=a_1\frac{1-q^n}{1-q}[/tex]
gdzie q jest ilorazem ciągu ≠ 1, a₁ = wyraz początkowy, n = liczba elementów ciągu (dla q = 1 obowiązuje wzór S = a₁n).
Podstawiamy:
[tex]S=1\cdot\frac{1-3^5}{1-3}=\frac{-242}{-2}=121[/tex]
Warto użyć powyższego wzoru na sumę ciągu geometrycznego, bo wtedy dla dowolnej liczby dzieci i dowolnego mnożnika (u nas: 3) dużo szybciej rozwiążemy zadanie.