Różnica jest fundamentalna, bo to dwie odmienne wielkości fizyczne.
Można powiedzieć, że siła jest przyczyną translacji (ruchu postępowego), natomiast moment siły jest przyczyną rotacji (ruchu obrotowego).
Wyraża to II zasada dynamiki
[tex]\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}=m\vec{a}\\\vec{M}=\frac{d\vec{L}}{dt}=\hat{I}\vec{\epsilon}[/tex]
gdzie siłą definiujemy jako zmianę pędu w czasie, natomiast moment siły, jako zmianę momentu pędu. Drugie sposób liczenie siły/momentu siły jakkolwiek popularniejszy, nie zawsze jest poprawny.
Istnieje jednak związek między siłą i momentem siły. Aby powstał niezerowy moment siły, musimy przyłożyć niezerową siłę F w pewnej odległości r od osi obrotu, wtedy
[tex]\vec{M}=\vec{r}\times\vec{F}[/tex]
moment siły jest iloczynem wektorowym wektora r (poprowadzony jest on od osi obrotu do punktu przyłożenia siły) oraz siły F
Odwołując się do wspomnianej w pytaniu taczki: przykładając do uchwytów pionowo do góry pewną siłą, stwarzamy moment siły, który powoduje obrót względem osi koła - jest to tzw. układ dźwigni jednostronnej III-go rodzaju. Taczka pozostaje w równowadze, gdyż działa także moment siły ciężkości, który równoważy nasz moment siły. Z warunku równowagi wynika, że nasza siła jest mniejsza od siły ciężkości (ramię działania siły przyłożonej do uchwytów jest większe), przez co pojawia się zysk mechaniczny.
pozdrawiam