Rozwiązanie:
Założenie:
[tex]x>0 \wedge x\neq 1 \wedge y>0[/tex]
Mamy:
[tex]log_{x}y>1\\log_{x}y>log_{x}x[/tex]
Teraz, gdy [tex]x \in (0,1)[/tex], to:
[tex]0<y<x[/tex]
a gdy [tex]x \in (1,\infty)[/tex], to:
[tex]y>x[/tex]
Narysujmy teraz opisaną w zadaniu sytuację (czyli zbiór punktów [tex]log_{x}y>1[/tex] oraz parabolę o równaniu [tex]-2x^{2}+8x=-2(x-2)^{2}+8[/tex]). Rysunek w załączniku.
Pole szukanego obszaru, to pole trójkąta, którego wierzchołek jest w początku układu współrzędnych oraz pole pozostałego obszaru.
Pole trójkąta jest równe:
[tex]P_{1}=\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1=\frac{1}{2}[/tex]
Pole pozostałego obszaru policzymy za pomocą całki oznaczonej:
Określamy obszar całkowania:
[tex]-2x^{2}+8x=x\\-2x^{2}+7x=0\\x(-2x+7)=0\\x= 0 \vee x=\frac{7}{2}[/tex]
[tex]D=\{(x,y) \in \mathbb{R}^{2}: 1\leq x\leq \frac{7}{2} ,x\leq y\leq -2x^{2}+8x\}[/tex]
Obliczamy pole obszaru:
[tex]P_{2}=\int {\int{} \, dy } \, dx =\int\limits^\frac{7}{2} _1 {(\int\limits^{-2x^{2}+8x}_x {dy} \, )} \, dx =\int\limits^\frac{7}{2} _1 {[y]^{-2x^{2}+8x}_{x}} \, dx =\int\limits^\frac{7}{2} _1 {(-2x^{2}+7x)} \, dx =[\frac{-2x^{3}}{3} +\frac{7x^{2}}{2} ]^{\frac{7}{2}}_{1}=\frac{343}{24}-\frac{17}{6} =\frac{275}{24}[/tex]
Zatem pole szukanego obszaru wynosi:
[tex]P=P_{1}+P_{2}=\frac{1}{2}+\frac{275}{24} =\frac{287}{24}[/tex]
