Odpowiedź:
[tex]\text{tg\,}\alpha=\dfrac{3\sqrt2}{2}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Podstawą graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkąt równoboczny [tex](P=\frac{a^2\sqrt3}4)[/tex]
Ściany boczne w graniastosłupie prawidłowym są prostopadłe do podstaw, czyli kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do podstawy, to kąt nachylenia tej przekątnej (d) do krawędzi podstawy (a).
Objętość graniastosłupa to: [tex]V=P_p\cdot H[/tex], gdzie H to jego wysokość. W graniastosłupie prawidłowym wysokością jest jego krawędź boczna.
Zatem:
[tex]V=P_p\cdot H \\\\96\sqrt3=\frac{a^2\sqrt3}4\cdot12\\\\ 96\sqrt3=3a^2\sqrt3\qquad/:(3\sqrt3)\\\\a^2=32\\\\a=4\sqrt2[/tex]
Oznaczmy opisany w zadaniu kąt jako α (rysunek).
Ściana graniastosłupa prawidłowego jest prostokątem, czyli przekątna dzieli ją na dwa trójkąty prostokątne.
Tangensem kąta α nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej na przeciw kąta α (tutaj: H) do przyprostokątnej przyległej do kąta α (tutaj a).
Zatem:
[tex]\text{tg\,}\alpha=\dfrac Ha=\dfrac{12}{4\sqrt2}=\dfrac{3}{\sqrt2}=\dfrac{3\sqrt2}{2}[/tex]
