dla jakich wartości parametru a równanie nie posiada rozwiązań?
[tex]1 + \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{(x + 1) ^{2} } + ... = 2 |a + 1| [/tex]
Lewa stronę sprowadziłem do
[tex] \frac{x + 1}{x} [/tex]
Ale nie wiem czy dobrze, za pomocą sumy nieskończonego ciagu. Proszę o sprawdzenie i pomoc w dalszych obliczeniach bo nie wiem jak dalej policzyc. ​



Odpowiedź :

Rozwiązanie:

Równanie:

[tex]1+\frac{1}{x+1}+\frac{1}{(x+1)^{2}}+...=2|a+1|[/tex]

Założenie:

[tex]x+1\neq 0 \iff x\neq -1[/tex]

Lewa strona to nieskończony szereg geometryczny, w którym:

[tex]a_{1}=1\\q=\frac{1}{x+1}[/tex]

Aby równanie miało sens musi zachodzić warunek [tex]|q|<1[/tex], zatem:

[tex]|\frac{1}{x+1}|<1\\\frac{1}{x+1} <1 \wedge \frac{1}{x+1}>-1\\\frac{-x}{x+1}<0 \wedge \frac{x+2}{x+1} >0\\-x(x+1)<0 \wedge (x+2)(x+1)>0\\x \in (-\infty,-1) \cup (0,\infty) \wedge x \in (-\infty,-2) \cup (-1,\infty)\\x \in (-\infty,-2) \cup (0,\infty)[/tex]

Teraz możemy obliczyć sumę szeregu:

[tex]S=\frac{a_{1}}{1-q} =\frac{1}{1-\frac{1}{x+1} } =\frac{1}{\frac{x}{x+1} } =\frac{x+1}{x}[/tex]

Zatem równanie ma postać:

[tex]\frac{x+1}{x} =2|a+1|\\\frac{1}{x} +1=2|a+1|\\\frac{1}{x} =2|a+1|-1[/tex]

Możemy teraz wyobrazić sobie wykres funkcji [tex]f(x)=\frac{1}{x}[/tex]. Ma on asymptotę poziomą [tex]y=0[/tex] w [tex]\pm \infty[/tex]. Zatem jedynym ograniczeniem jest:

[tex]2|a+1|-1=0\\|a+1|=\frac{1}{2} \\a+1=\frac{1}{2} \vee a+1=-\frac{1}{2} \\a=-\frac{1}{2} \vee a=-\frac{3}{2}[/tex]

Zatem mamy odpowiedź do zadania:

[tex]a=-\frac{1}{2} \vee a=-\frac{3}{2}[/tex]