Odpowiedź :
Witaj :)
Do rozwiązania tego zadania zaproponuje dwa sposoby, a ty zdecyduj, który jest dla Ciebie wygodniejszy.
SPOSÓB 1
Niech będą dane punkty:
[tex]A(x_A;y_B), \ \ \ \ B(x_B;y_B), \ \ \ \ C(x_C;y_C)[/tex]
Wówczas mówimy, że punkty te leżą na jednej prostej tzn. są współliniowe wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest następująca równość:
[tex]\large \boxed {(x_B-x_A)(y_C-y_A)=(y_B-y_A)(x_C-x_A)}[/tex]
Równość ta wynika z równoległości dwóch wektorów [tex]\vec {AB}\ oraz\ \vec{AC}[/tex]
Zapiszmy teraz współrzędne naszych punktów:
[tex]A(1;-2)\ \ \ \ gdzie:\ x_A=1, \ \ \ \ y_A=-2\\\\B(0;2)\ \ \ \ gdzie:\ x_B=0, \ \ \ \ y_B=2\\\\C(2;-7)\ \ \ \ gdzie:\ x_C=2, \ \ \ \ y_C=-7[/tex]
Zatem podstawmy nasze współrzędne do powyższego wzoru:
[tex](x_B-x_A)(y_C-y_A)=(y_B-y_A)(x_C-x_A)\\\\(0-1)(-7-(-2))=(2-(-2))(2-1)\\\\-1\cdot (-5)=4\cdot 1\\\\5\neq 4[/tex]
Otrzymaliśmy sprzeczność. Wobec czego:
[tex]\large \boxed {Punkty\ \ A(1;-2),\ B(0,2),\ C(2;-7)\ nie\ leza\ na\ jednej\ prostej}[/tex]
SPOSÓB 2
Metoda ta polega na wyznaczeniu równania prostej przechodzącej przez dwa punkty i sprawdzeniu, czy trzeci punkt należy do tej prostej.
Niech będą dane dwa punkty:
[tex]A(x_A;y_A)\ oraz\ B(x_B;y_B)[/tex]
Równanie prostej przechodzącej przez te punkty wyraża równanie :
[tex]\large \boxed{(y-y_A)(x_B-x_A)-(y_B-y_A)(x-x_A)=0 }[/tex]
W naszym zadaniu mamy:
[tex]A(1;-2)\ \ \ \ gdzie:\ x_A=1, \ \ \ \ y_A=-2\\\\B(0;2)\ \ \ \ gdzie:\ x_B=0, \ \ \ \ y_B=2[/tex]
Podstawmy współrzędne do równania powyżej:
[tex](y-y_A)(x_B-x_A)-(y_B-y_A)(x-x_A)=0 \\\\(y-(-2))(0-1)-(2-(-2))(x-1)=0\\\\-y-2-(4(x-1))=0\\\\-y-2-4x+4=0\\\\-y-4x+2=0\\\\-y=4x-2/ \cdot (-1)\\\\y=-4x+2[/tex]
Czyli równanie naszej prostej AB ma postać [tex]y=-4x+2[/tex].
Sprawdźmy, czy punkt C należy do tej prostej podstawiając w miejsce x oraz y współrzędne tego punktu:
[tex]y=-4x+2\\\\C(2,-7), \ gdzie:\ x=2,\ \ y=-7\\\\-7=-4\cdot 2+2\\\\-7=-8+2\\\\-7\neq -6[/tex]
Otrzymaliśmy sprzeczność więc:
[tex]\large \boxed {Punkty\ \ A(1;-2),\ B(0,2),\ C(2;-7)\ nie\ leza\ na\ jednej\ prostej}[/tex]
Cześć ;-)
Zaczynam od ustalenia wzoru prostej przechodzącej przez punkty A i B. Korzystam przy tym z postaci kierunkowej, układam układ równań
[tex]y=ax+b\longleftarrow\text{post. kierunkowa funkcji liniowej}\\\\a\longrightarrow\text{wsp. kierunkowy}\\\\b\longrightarrow\text{wyraz wolny}\\\\------------\\\\\text{A}=(1,-2)\longrightarrow x=1 \ \text{oraz} \ y=-2\\\\\text{B}=(0,2)\longrightarrow x=0 \ \text{oraz} \ y=2\\\\\{a\cdot 1+b=-2\\\{a\cdot 0+b=2\\\\\{b=2\\\{a+2=-2 \ \ /-2\\\\\{a=-4\\\{b=2\\\\y=-4x+2[/tex]
Aby sprawdzić czy punkt C należy do tej prostej, należy do równania prostej podstawić za 'x' oraz 'y' pierwszą i drugą współrzędną punktu C i sprawdzić czy lewa strona jest równa prawej
[tex]y=-4x+2\\\\\text{C}=(2,-7)\longrightarrow x=2 \ \text{oraz} \ y=-7\\\\-7=-4\cdot2+2\\\\-7=-8+2\\\\-7\neq-6[/tex]
Odp. Punkty A = (1, -2); B = (0, 2); C = (2, -7) nie leżą na jednej prostej.
Pozdrawiam! ~ JulkaOdMatmy
