Kamil2001i
Rozwiązane

Zadanie w załączniku (10.142)​



Zadanie W Załączniku 10142 class=

Odpowiedź :

Louie314

Odpowiedź:

[tex]V=\frac{108}{529} \pi R^{3}\sqrt{3}[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

Rysunek w załączniku.

Zauważmy, że przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym, więc wysokość stożka jest równa [tex]R\sqrt{3}[/tex]. Ustalmy:

[tex]V[/tex] - suma objętości brył wpisanych w stożek,

[tex]V_{w}[/tex] - objętość walca,

[tex]V_{k}[/tex] - objętość kuli,

[tex]h[/tex] - wysokość walca,

[tex]r_{w}[/tex] - promień walca,

[tex]r_{k}[/tex] - promień kuli.

Naszym zadaniem jest obliczyć maksymalną objętość, zatem:

[tex]V=V_{w}+V_{k}=\pi r_{w}^{2}h+\frac{4}{3}\pi r_{k}^{3}[/tex]

W tym celu utworzymy funkcję zmiennej [tex]h[/tex]. Na początek wyrazimy [tex]r_{w}[/tex] oraz [tex]r_{k}[/tex] za pomocą [tex]h[/tex] i [tex]R[/tex].

Z podobieństwa trójkątów [tex]CKB[/tex] oraz [tex]CJG[/tex] mamy:

[tex]\frac{R\sqrt{3} }{R\sqrt{3}-h } =\frac{R}{r_{w}} \iff r_{w}=\frac{R\sqrt{3}-h }{\sqrt{3} }[/tex]

Z podobieństwa trójkątów [tex]CKB[/tex] oraz [tex]CHS[/tex] mamy:

[tex]\frac{2R}{R\sqrt{3}-r_{k}-h }=\frac{R}{r_{k}} \iff r_{k}=\frac{R\sqrt{3}-h }{3}[/tex]

Zatem:

[tex]V_{w}=\pi h(\frac{R\sqrt{3} -h}{\sqrt{3} } )^{2}\\V_{k}=\frac{4}{3} \pi (\frac{R\sqrt{3}-h }{3 } )^{3}[/tex]

Stąd:

[tex]V=\pi h(\frac{R\sqrt{3} -h}{\sqrt{3} } )^{2}+\frac{4}{3} \pi (\frac{R\sqrt{3}-h }{3 } )^{3}[/tex]

Teraz rozważymy funkcję zmiennej [tex]h[/tex] :

[tex]V(h)=\pi h(\frac{R\sqrt{3} -h}{\sqrt{3} } )^{2}+\frac{4}{3} \pi (\frac{R\sqrt{3}-h }{3 } )^{3}[/tex] dla [tex]0<h<R\sqrt{3}[/tex].

Obliczamy jej pochodną:

[tex]V'(h)=\pi h^{2}-\frac{4\sqrt{3}\pi hR }{3} +\pi R^{2}-\frac{4}{27} \pi (R\sqrt{3}-h)^{2} =-\frac{1}{27}\pi (23h-5\sqrt{3}R)(R\sqrt{3} -h)[/tex]

Zerujemy ją:

[tex]-\frac{1}{27}\pi (23h-5\sqrt{3}R)(R\sqrt{3} -h)=0\\ (23h-5\sqrt{3}R)(R\sqrt{3} -h)=0\\h=\frac{5}{23}\sqrt{3}R \vee h=R\sqrt{3} \notin D[/tex]

Dla [tex]h=\frac{5}{23}\sqrt{3}R[/tex] objętość wynosi:

[tex]V(\frac{5}{23}\sqrt{3}R)= \frac{5}{23}\sqrt{3}R \pi(\frac{R\sqrt{3}-\frac{5}{23}\sqrt{3}R }{\sqrt{3} } )^{2}+\frac{4}{3}\pi (\frac{R\sqrt{3}-\frac{5}{23}\sqrt{3}R }{3} )^{3} =\frac{5}{23}\sqrt{3}R\pi \cdot (\frac{18}{23}R)^{2}+\frac{4}{3}\pi \cdot (\frac{6}{23}\sqrt{3}R )^{3}=\frac{1620R^{3}\pi \sqrt{3} }{12167} +\frac{864R^{3}\pi \sqrt{3} }{12167}=\frac{108}{529} \pi R^{3}\sqrt{3}[/tex]

Zobacz obrazek Louie314
Lukaszch07p2rzss

Odpowiedź:

[tex]V_{max}(\frac{18\cdot R}{23} )=\frac{108\sqrt{3}\pi \cdot R^3 }{529} \approx1,1109\cdot R^3[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

Tworzymy zmienną, która ułatwi opis objętości.

Przyjmijmy, że promień podstawy walca to [tex]x[/tex] taki, że [tex]x\in\mathbb{R}:x>0[/tex]

Aby uzależnić objętość tylko od utworzonej zmiennej należy wyznaczyć odpowiednie wielkości bazując na rysunku.  Wystarczy nam analiza przekroju poprzecznego zawierającego wysokość stożka. Widzimy tutaj trójkąt równoboczny. W prosty sposób jesteśmy w stanie wyznaczyć kąt między tworzącą a podstawą.

[tex]\alpha =\mathrm{arccos}(\frac{R}{2R} )=60^{\circ}[/tex]

Musimy obliczyć również wysokość walca, w tym celu obliczamy długość jednego z odcinków, które pozostaną po odjęciu promienia walca od promienia stożka:

[tex]R-x[/tex]

Teraz korzystamy z zależności w trójkącie prostokątnym i zapisujemy wysokość walca jako

[tex]\mathrm{tg}(60^\circ)\cdot(R-x)=\sqrt{3} \cdot(R-x)[/tex]

Poddając dalszej analizie nasz przekrój poprzeczny zauważamy koło wpisane w mniejszy trójkąt równoboczny, którego bok jest nam znany Korzystamy z odpowiednich zależności i zapisujemy promień naszej kuli jako:

[tex]\frac{\sqrt{3} }{6} \cdot2x=\frac{\sqrt{3} }{3} x[/tex]

Znamy teraz wszystkie potrzebne wymiary, możemy napisać wzór funkcji opisującej sumę objętości walca i kuli, które będą wpisane w ten stożek.

[tex]V(x)=\pi x^2\cdot \bigg(\sqrt{3}\cdot(R-x) \bigg)+\frac{4}{3} \pi\bigg(\frac{\sqrt{3} }{3}\cdot x \bigg )^3[/tex]

po uproszczeniu:

[tex]V(x)=\frac{1}{27}\cdot\bigg( \pi \cdot\sqrt{3}\cdot x^2\cdot (27\cdot R -23\cdot x)\bigg)[/tex]

Obliczamy pochodną:

[tex]\frac{d}{dx}V(x)= \frac{1}{9} \bigg(\pi \cdot\sqrt{3} \cdot x\cdot (18\cdot R-23 \cdot x)\bigg)[/tex]

Zerujemy pochodną i obliczamy [tex]x[/tex]

[tex]\frac{d}{dx}V(x)=0 \ \Longleftrightarrow \ x=0 \ \vee \ x=\frac{18\cdot R}{23}[/tex]

Odrzucamy [tex]x=0[/tex] gdyż nie należy do dziedziny naszej funkcji.

Badamy pochodną w otoczeniu punktu [tex]x=\frac{18\cdot R}{23}[/tex]

[tex]\frac{d}{dx} V(\frac{17\cdot R}{23} )=\frac{17 \cdot\pi \cdot \sqrt{3} \cdot R^2}{207} >0[/tex]

[tex]\frac{d}{dx} V(\frac{19\cdot R}{23} )=-\frac{19 \cdot\pi\cdot \sqrt{3} \cdot R^2}{207} <0[/tex]

Pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny, oznacza to, że w badanym punkcie stacjonarnym mamy maksimum lokalne. Pozostaje obliczyć jego wartość

[tex]V(\frac{18\cdot R}{23} )=\frac{108\sqrt{3}\pi \cdot R^3 }{529} \approx1,1109\cdot R^3[/tex]

Inne Pytanie