Rozwiązanie:
Zakładam, że materiał dotyczy szkoły średniej, więc odpuszczam sobie przedziały wklęsłości i wypukłości oraz punkty przegięcia.
[tex]a)[/tex]
[tex]f(x)=\frac{\sqrt{x+1} }{x-2}[/tex]
Dziedzina:
[tex]x+1\geq 0 \wedge x-2\neq 0\\x\geq -1 \wedge x\neq 2\\D=x \in \ <-1,2) \cup (2,\infty)[/tex]
Miejsca zerowe:
[tex]f(x)=0 \iff \sqrt{x+1}=0\\x+1=0\\x=-1[/tex]
Punkty przecięcia z osią [tex]OY[/tex] :
[tex]f(0)=\frac{\sqrt{0+1} }{0-2} =-\frac{1}{2} \\P=(0,-\frac{1}{2})[/tex]
Granice na krańcach dziedziny:
[tex]\lim_{x \to \infty} f(x)= \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x+1} }{x-2}= 0\\ \lim_{x \to 2^{-}} f(x)= \lim_{x \to 2^{-}} \frac{\sqrt{x+1} }{x-2}=[\frac{\sqrt{3} }{0^{-}} ]=-\infty\\ \lim_{x \to 2^{+}} f(x)= \lim_{x \to 2^{+}} \frac{\sqrt{x+1} }{x-2}=[\frac{\sqrt{3} }{0^{+}} ]=\infty\\[/tex]
Granica [tex]\lim_{x \to -\infty} f(x)[/tex] nie istnieje.
Asymptoty:
Z powyższych obliczeń mamy asymptotę pionową [tex]x=2[/tex] oraz asymptotę poziomą [tex]y=0[/tex] w [tex]+\infty[/tex].
Przedziały monotoniczności:
Pochodna:
[tex]f'(x)=(\frac{\sqrt{x+1} }{x-2} )^{'}=\frac{\frac{x-2}{2\sqrt{x+1} }-\sqrt{x+1} }{(x-2)^{2}} =\frac{-x-4}{2\sqrt{x+1} (x-2)^{2}}[/tex] dla [tex]x \in \ <-1,2) \cup (2,\infty)[/tex]
Sprawdzamy, kiedy funkcja jest rosnąca, a więc kiedy:
[tex]f'(x)>0 \iff \frac{-x-4}{2\sqrt{x+1} (x-2)^{2}}>0[/tex]
Zauważmy, że mianownik tego wyrażenia jest zawsze dodatni natomiast licznik zawsze ujemny (ze względu na dziedzinę). Zatem rozwiązaniem tej nierówności jest zbiór pusty (brak rozwiązań).
To oznacza, że dla każdego [tex]x \in D[/tex] zachodzi nierówność:
[tex]f'(x)<0[/tex]
więc funkcja [tex]f[/tex] jest malejąca w całej swojej dziedzinie.
Ekstrema:
[tex]f'(x)=0 \iff \frac{-x-4}{2\sqrt{x+1} (x-2)^{2}}=0 \iff -x-4=0 \iff x=-4 \notin D[/tex]
Zatem funkcja nie posiada ekstremów, gdyż nie jest spełniony warunek konieczny do ich istnienia.
Teraz możemy narysować wykres funkcji [tex]f[/tex] (załącznik).
Zbiór wartości:
[tex]Y= \mathbb{R}[/tex]
[tex]b)[/tex]
[tex]f(x)=x \cdot 2^{\frac{1}{2} }=x\sqrt{2}[/tex]
Dziedzina:
[tex]D= \mathbb{R}[/tex]
Miejsca zerowe:
[tex]f(x)=0 \iff x\sqrt{2}=0 \iff x=0[/tex]
Punkty przecięcia z osią [tex]OY[/tex] :
[tex]f(0)=0\\P=(0,0)[/tex]
Asymptoty:
Wykres funkcji nie ma asymptot.
Przedziały monotoniczności:
Funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.
Ekstrema:
Funkcja nie ma ekstremów.
Szkicujemy wykres funkcji (załącznik).
Zbiór wartości:
[tex]Y= \mathbb{R}[/tex]
