Odpowiedź:
[tex]r=\frac{3}{2}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Szereg:
[tex]\sum\limits^\infty_{n=0}\frac{2^{n}+n^{2}}{3^{n}+n^{3}} \ x^{n}[/tex]
Promień zbieżności szeregu wyraża się wzorem:
[tex]r=\frac{1}{ \lim_{n \to \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | }[/tex]
W naszym przypadku:
[tex]a_{n}=\frac{2^{n}+n^{2}}{3^{n}+n^{3}}[/tex]
Stąd:
[tex]a_{n+1}=\frac{2^{n+1}+(n+1)^{2}}{3^{n+1}+(n+1)^{3}}[/tex]
Najpierw obliczamy potrzebną nam granicę:
[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n \to \infty} (\frac{2^{n+1}+(n+1)^{2}}{2^{n}+n^{2}} \cdot \frac{3^{n}+n^{3}}{3^{n+1}+(n+1)^{3}} )= \lim_{n \to \infty} (\frac{2^{n+1}+(n+1)^{2}}{2^{n}+n^{2}} ) \cdot \lim_{n \to \infty} (\frac{3^{n}+n^{3}}{3^{n+1}+(n+1)^{3}})[/tex]
Pierwszy czynnik:
[tex]\lim_{n \to \infty} (\frac{2^{n+1}+(n+1)^{2}}{2^{n}+n^{2}} )= \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n}(2+\frac{n^{2}}{2^{n}}+\frac{2n}{n^{2}}+\frac{1}{2^{n}} )}{2^{n}(1+\frac{n^{2}}{2^{n}} )} =2[/tex]
Drugi czynnik:
[tex]\lim_{n \to \infty} (\frac{3^{n}+n^{3}}{3^{n+1}+(n+1)^{3}})= \lim_{n \to \infty} \frac{3^{n+1}(\frac{1}{3} +\frac{n^{3}}{3^{n+1}}) }{3^{n+1}(1+\frac{n^{3}}{3^{n+1}}+\frac{3n^{2}}{3^{n+1}}+\frac{3n}{3^{n+1}} +\frac{1}{3^{n+1}} ) } =\frac{1}{3}[/tex]
Zatem:
[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{2}{3}[/tex]
Obliczamy promień zbieżności szeregu:
[tex]r=\frac{1}{|\frac{2}{3} |} =\frac{3}{2}[/tex]
