Odpowiedź :
a)
[tex](cos 45^\circ - cos 30^\circ) * (cos 45^\circ + cos 30^\circ)[/tex]
Korzystam ze wzoru skróconego mnożenia:
[tex](a-b)(a+b) = a^2 - b^2[/tex]
Podstawiam wartości z tablic wartości funkcji trygonometrycznych dla typowych kątów:
[tex](cos(45^\circ))^2 - (cos(30^\circ))^2 = (\frac{\sqrt{2} }{2} )^2 - (\frac{\sqrt{3}}{2} )^2 = \frac{2 }{4} - \frac{3}{4} = - \frac{1}{4}[/tex]
b)
[tex](3sin(45^\circ) + tg(60^\circ) )* (3sin (45^\circ) - tg (60^\circ))[/tex]
Ta sama sytuacja.
[tex](3sin(45^\circ))^2 - (tg(60^\circ))^2 = 9 * \frac{1}{2} - 3 = 1.5[/tex]
c)
Uznam, że ta dwójka na końcu nie znaczy mnożenia, tylko potęgę. Na przyszłość potęgę oznacza się daszkiem "^". A jeśli to mnożenie, to konwencjonalnie stałe zapisuje się przed nawiasem, a nie za nim.
(sin 60 + cos 30)^2 - (sin 30 + cos 60)^2
[tex](sin(60^\circ) + cos (30^\circ))^2 - (sin (30^\circ) + cos (60^\circ))^2[/tex]
Korzystam z faktu, iż sin60 = cos30 oraz że sin30 = cos60
[tex](2sin(60^\circ))^2-(2sin(30^\circ))^2 = (2*\frac{\sqrt3}{2})^2 - (2*\frac{1}{2})^2 = \sqrt3^2 - 1^2 = 2[/tex]
d)
(tg 60 - sin 30) * (cos 60 - ctg 30)
Po prostu podstawiam wartości funkcji.
[tex](tg (60^\circ) - sin (30^\circ)) * (cos (60^\circ) - ctg (30^\circ))=(\sqrt3 - \frac{1}{2} )(\frac{1}{2} - \sqrt3 ) = \\- (\sqrt3 - \frac{1}{2} )( \sqrt3 - \frac{1}{2}) = - (\sqrt3 - \frac{1}{2} )^2[/tex]
Zostawiam to w tej postaci. Ewentualnie można to uprościć ostatecznie do:
[tex]\sqrt{3} - \frac{13}{4}[/tex]
e)
4(ctg 45 + sin 60) x (cos 30 + tg 45)
Tu też po prostu podstawiam:
[tex]4(ctg (45^\circ) + sin (60^\circ)) (cos (30^\circ) + tg (45^\circ))=\\4*(1+\frac{\sqrt3}{2} )(\frac{\sqrt3}{2} +1) = 4*(1+\frac{\sqrt3}{2} )^2 = (2+\sqrt3)^2[/tex]
Można sobie to uprościć:
[tex]7+4\sqrt3[/tex]
f)
2(tg 30 - sin 45) x (cos 45 - ctg 60)
[tex]2(tg (30^\circ) - sin (45^\circ)) (cos (45^\circ) - ctg (60^\circ))=\\2(\frac{\sqrt3}{3} - \frac{\sqrt2}{2})( \frac{\sqrt2}{2} - \frac{\sqrt3}{3}) = -2(\frac{\sqrt3}{3} - \frac{\sqrt2}{2})^2[/tex]
No i można sobie to uprościć do takiej postaci:
[tex]2\sqrt{\frac{2}{3} } - \frac{5}{3}[/tex]
Trochę to zajęło, ale każdy wynik sprawdziłem, można do każdego dojść różnymi drogami, można korzystać z faktu, że dowolny kotangens można przekształcić w tangens i cosinus w sinus, ale nie widzę tutaj żadnego zysku w przepisywaniu tych przykładów na milion sposobów. Gdyby zamiast konkretnych kątów były α i β - byłoby w tym więcej sensu.
Polecam się i pozdrawiam
