Rozwiązanie:
Rysunek w załączniku.
Na początek zauważmy, że aby [tex]\angle AWB=90^{\circ}[/tex], to proste przechodzące przez punkty [tex]W[/tex] i [tex]A[/tex] oraz [tex]W[/tex] i [tex]B[/tex] muszą być nachylone do osi [tex]OX[/tex] pod kątem [tex]135^{\circ}[/tex] i [tex]45^{\circ}[/tex] odpowiednio. Ta informacja pozwala nam wyznaczyć współczynniki kierunkowe tych prostych:
Dla prostej przechodzącej przez punkty [tex]W[/tex] i [tex]A[/tex] :
[tex]a_{WA}=tg135^{\circ}=tg(180^{\circ}-45^{\circ})=-tg45^{\circ}=-1[/tex]
Dla prostej przechodzącej przez punkty [tex]W[/tex] i [tex]B[/tex] :
[tex]a_{WB}=tg45^{\circ}=1[/tex]
Zatem możemy zapisać te prostej jako:
[tex]y_{WA}=-x+b_{WA}\\y_{WB}=x+b_{WB}[/tex]
Teraz wystarczy, że podstawimy współrzędne punktu [tex]W[/tex] do tych równań i obliczymy szukane wielkości. Zatem:
[tex]W=(4,0)[/tex]
[tex]0=-4+b_{WA} \iff b_{WA}=4\\0=4+b_{WB}=b_{WB}=-4[/tex]
Stąd mamy równania prostych:
[tex]y_{WA}=-x+4\\y_{WB}=x-4[/tex]
Teraz szukamy przecięć tych prostych z parabolą:
[tex]-x+4=\frac{1}{3}(x-4)^{2} \\-(x-4)=\frac{1}{3}(x-4)^{2}\\\frac{1}{3}(x-4)^{2}+(x-4)=0\\(x-4)(\frac{1}{3}(x-4)+1)=0\\x=4 \vee \frac{1}{3}(x-4)+1=0\\\frac{1}{3}(x-4)=-1\\x-4=-3\\x=1\\y=3\\A=(1,3)[/tex]
[tex]x-4=\frac{1}{3}(x-4)^{2}\\\frac{1}{3}(x-4)^{2}-(x-4)=0 \\(x-4)(\frac{1}{3}(x-4)-1)=0\\x=4 \vee \frac{1}{3}(x-4)-1=0\\\frac{1}{3}(x-4)=1\\x-4=3\\x=7\\y=3\\B=(7,3)[/tex]
Mamy szukane punkty. Zadanie można było rozwiązać bardziej intuicyjnie (np. domyślić się równań prostych na podstawie wierzchołka).
