Odpowiedź :
Współrzędne wierzchołków paraboli oraz zbiory wartości funkcji:
a) [tex]f(x) = x^2+1,[/tex]
współ. wierzch = (0,1), zbiór wart = (1,∞)
b) [tex]f(x) = 2x^2-2,[/tex]
współ. wierzch = (0,-2), zbiór wart = (-2,∞)
c) [tex]f(x)= -x^2+4,[/tex]
współ. wierzch = (0,4), zbiór wart = (-∞, 4)
Wykresy paraboli znajdują się w załączniku.
Przypomnijmy sobie na początku wzór ogólny funkcji kwadratowej:
[tex]f(x) = ax^2 +bx +c[/tex]
Aby naszkicować parabolę potrzebujemy minimum 3 punktów. Nie są to jednak dowolne punkty a najlepiej aby był to punkt wierzchołka oraz jeden punkt po lewej drugi po prawej stronie od niego.
Współrzędne wierzchołka
Wzór ogólny przedstawia się następująco, dla współrzędnej x:
[tex]x_w= \frac{-b}{2a}[/tex]
Dla współrzędnej y mamy dwie opcje:
- Pierwsza z nich jest podłożenie [tex]x_w[/tex] do znanego wzoru naszej funkcji. Mamy więc:
[tex]y_w = f(x_w)[/tex]
- Drugi sposób wymaga policzenia delty, która przyda się też przy obliczaniu miejsc zerowych. Wtedy wzór to:
[tex]y_w=\frac{-\Delta}{4a}[/tex]
Współrzędne pozostałych 2 punktów
Dobrym wyborem mogą być miejsca zerowe paraboli. Jednak nie każda parabola je ma, spróbujmy wiec podejść do tematu inaczej.
Znając [tex]x_w[/tex] jako konkretną liczbę, dodajmy i odejmijmy od niego jeden.
Dla każdego z tych x policzmy wartość funkcji, dostaniemy w ten sposób punkty po lewej i prawej stronie wierzchołka.
Następnie nanosimy te punkty na wykres a podczas rysowania pamiętajmy, że funkcja w punkcie wierzchołka się odbija.
Współrzędne dla funkcji f
a) [tex]f(x) = x^2+1[/tex]
a=1 ponieważ przy x² stoi 1
b=0 ponieważ wzór nie zawiera samego x
Oraz c=1 ponieważ ta liczba stoi bez x
Obliczmy współrzędną x wierzchołka zgodnie ze wzorem:
[tex]x_w= \frac{-b}{2a}[/tex]
W naszym przypadku b=0 a = 1, zatem współrzędna x wierzchołka wynosi 0
Następnie obliczmy współrzędną y wierzchołka:
Korzystając z pierwszego sposobu, należy podstawić do naszego wzoru funkcji w miejsce x uzyskany x wierzchołka.
Mamy więc:
[tex]f(0)= 0^2 +1 = y_w[/tex]
z czego wynika, że:
[tex]y_w =1[/tex]
Zatem współrzędne wierzchołka to: [tex]x_w=0[/tex], [tex]y_w =1[/tex]
Zgodnie ze schematem obliczmy teraz dwa pozostałe punkty:
Najpierw na lewo od wierzchołka
Mamy więc 0-1 = -1
I ten wynik znów podstawmy to wzoru funkcji:
[tex]f(-1)= (-1)^2 +1[/tex]
więc:
[tex]f(-1) =2[/tex]
Mamy więc drugi punkt (-1,2)
Obliczmy trzeci, tym razem z prawej strony wierzchołka.
Wiec tym razem do [tex]x_w[/tex] dodajmy 1 i podstawiamy do funkcji. Otrzymujmy w ten sposób trzeci punkt: (1,2)
Nanieśmy następnie punkty na układ i połączmy pamiętając że w punkcie wierzchołka funkcja się odbija (rysunek w załączniku).
Zauważamy, że funkcja ma dodatni współczynnik a, dlatego jej ramiona skierowane są w górę. Oznacza to, że wartości na y rosną od [tex]y_w[/tex] do nieskończoności, zatem zbiór wartości funkcji f = (1,∞).
b) [tex]f(x) = 2x^2-2[/tex]
Powtarzamy schemat:
Obliczamy:
[tex]x_w = \frac{0}{2} =0[/tex].
Dla tego obliczamy:
[tex]y_w = f(0)= 0^2 - 2 = -2[/tex]
Mamy więc punkt wierzchołka (0,-2).
Następnie odejmujmy 1 od [tex]x_w[/tex] otrzymujemy -1 i dla niego liczmy:
[tex]f(-1) = 2*(-1)^2 -2 = 0[/tex]
Otrzymaliśmy zatem punkt (-1,0)
Teraz punkt po prawej stronie. Dodajmy 1 do [tex]x_w[/tex], otrzymujemy:
[tex]f(1)=2*1^2 -2 = 0[/tex]
Mamy wiec ostatni punkt (1;0)
Trzy punkty nanosimy i łączymy
Zauważamy, że funkcja ma dodatni współczynnik a, dlatego jej ramiona skierowane są w górę. Oznacza to, że wartości na y rosną od [tex]y_w[/tex] do nieskończoności, zatem zbiór wartości funkcji f = (-2,∞).
c) [tex]f(x)= -x^2+4[/tex]
Powtarzamy schemat:
Tym razem a= -1 b=0 a c= 4
Zatem:
[tex]x_w = \frac{0}{-2} =0[/tex]
[tex]y_w= f(0)= -(0)^2 +4=4[/tex]
Mamy wiec punkt wierzchołka (0;4)
Co ciekawe [tex]x_w[/tex] znów równa się zero, wiemy więc, że nasze kolejne x równe będą 1 i -1 obliczmy zatem ich y:
[tex]F(1)= -(1)^2 +4= 3\\F(-1)=-(-1)^2+ 4=3[/tex]
Mamy wiec 3 punkty, które należy narysować i połączyć.
Zauważamy, że funkcja ma ujemny współczynnik a, dlatego jej ramiona skierowane są w dół. Oznacza to, że wartości na y maleją od [tex]y_w[/tex] do minus nieskończoności, zatem zbiór wartości funkcji f = (-∞, 4).
