Odpowiedź:
Szczegółowe wyjaśnienie:
Mając dwie proste:
[tex]y_1=a_1x+b_1\\y_2=a_2x+b_2[/tex]
wiemy że są prostopadłe gdy [tex]a_1*a_2=-1[/tex]
Zad 1
b)
[tex]y=\frac{2}{3}x-3, P(4,1)[/tex]
wyznaczamy wzór prostej [tex]y=ax+b[/tex], z tego co wyżej wiemy że
[tex]a*\frac{2}{3}=-1\\a=-\frac{3}{2}[/tex]
Zatem mamy że
[tex]y=-\frac{3}{2}x+b[/tex]
współczynnik b wyznaczamy podstawiając punkt
[tex]1=-\frac{3}{2}*4+b\\1=-6+b\\b=7[/tex]
Stąd szukana prosta ma wzór:
[tex]y=-\frac{3}{2}x+7[/tex]
d)
[tex]y=3 \frac{1}{2}x-3, P(14,-4)[/tex]
wyznaczamy współczynnik a:
[tex]a*3\frac{1}{2}=-1\\a*\frac{7}{2}=-1\\a=-\frac{2}{7}[/tex]
Stąd nasza prosta ma równanie:
[tex]y=-\frac{2}{7}x+b[/tex]
wyznaczam współczynnik b:
[tex]-4=-\frac{2}{7}*14+b\\-4=-4+b\\b=0[/tex]
Stąd nasza prosta wyraża się wzorem:
[tex]y=-\frac{2}{7}x[/tex]
Zad 2
b)
[tex]A(-2,-1), B(0,-3), C(4,5)[/tex]
Aby wyznaczyć prostą [tex]y=ax+b[/tex] przechodzącą przez punkty A i B budujemy układ równań w którym jako jedno równanie podstawiamy w miejsce x i y współrzędne punktu A a jako drugie równanie podstawiamy punkt B
[tex]\left \{ {{-1=-2a+b} \atop {-3=0*a+b}} \right. \\\left \{ {{-1=-2a+b} \atop {b=-3}} \right. \\\left \{ {{b=-3} \atop {-1=-2a-3}} \right. \\\left \{ {{b=-3} \atop {-2a=2}} \right. \\\left \{ {{a=-1} \atop {b=-3}} \right.[/tex]
Stąd prosta AB ma równanie [tex]y=-x-3[/tex]
Teraz wyznaczamy prostą BC:
[tex]\left \{ {{-3=0*a+b} \atop {5=4a+b}} \right. \\\left \{ {{b=-3} \atop {5=4a-3}} \right. \\\left \{ {{b=-3 } \atop {4a=8}} \right. \\\left \{ {{b=-3} \atop {a=2}} \right.[/tex]
Stąd prosta BC ma równanie: [tex]y=2x-3[/tex]
Teraz wyznaczamy prostą AC
[tex]\left \{ {{-1=-2a+b} \atop {5=4a+b}} \right.\\\left \{ {{b=-1+2a} \atop {5=4a-1+2a}} \right. \\\left \{ {{b=-1+2a} \atop {6a=6}} \right.\\\left \{ {{a=1} \atop {b=-1+2=1}} \right.[/tex]
Stąd prosta AC ma równanie: [tex]y=x+1[/tex]
Jest to trójką prostokątny ponieważ proste AB i AC są prostopadłe bo iloczyn ich współczynników kierunkowych (a) to -1*1=-1
c)
[tex]A(-7,-2),B(8,-2),C(-2,3)[/tex]
Prosta AB:
Widzimy, że współrzędna y-owa w obu punktach jest taka sama czyli -2 zatem wzór na prostą AB to [tex]y=-2[/tex]
Prosta AC:
[tex]\left \{ {{-2=-7a+b} \atop {3=-2a+b}} \right. \\\left \{ {{b=-2+7a} \atop {3=-2a-2+7a}} \right. \\\left \{ {{b=-2+7a} \atop {5=5a}} \right.\\\left \{ {{a=1} \atop {b=-2+7=5}} \right.[/tex]
Stąd prosta AC ma równanie: [tex]y=x+5[/tex]
Prosta BC:
[tex]\left \{ {{-2=8a+b} \atop {3=-2a+b}} \right. \\\left \{ {{b=-2-8a} \atop {3=-2a-2-8a}} \right. \\\left \{ {{b=-2-8a} \atop {5=-10a}} \right.\\\left \{ {{a=-\frac{1}{2}} \atop {b=-2-8*(-\frac{1}{2})=-2+4=2}} \right.[/tex]
Stąd prosta BC ma równanie: [tex]y=-\frac{1}{2}+2[/tex]
Ten trójkąt nie może być prostokątny bo te proste nie są prostopadłe do siebie
