Rozwiązanie:
Zadanie [tex]4.[/tex]
[tex]f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+2} \\g(x)=\frac{1}{x}[/tex]
[tex]D: x\neq 0[/tex]
Zatem:
[tex]f(x)=g(x) \iff \frac{x^{2}}{x^{2}+2}=\frac{1}{x}\\x^{3}=x^{2}+2\\x^{3}-x^{2}-2=0\\[/tex]
Teraz zauważmy, że:
[tex]W(1)=1-1-2=-2<0\\W(2)=8-4-2=2>0[/tex]
Zatem na mocy twierdzenia Darboux (funkcja [tex]x^{3}-x^{2}-2[/tex] jest ciągła jako wielomian) wiemy, że w przedziale [tex]<1,2>[/tex] jest rozwiązanie tego równania. Szacujemy dalej:
[tex]W(\frac{3}{2})=-\frac{7}{8} <0 \\W(\frac{7}{4})=\frac{19}{64}>0[/tex]
Zatem możemy zawęzić nasz przedział do [tex]<\frac{3}{2},\frac{7}{4}>[/tex], co jest odpowiedzią do zadania.
Można by jeszcze pokazać, że to równanie ma tylko jedno rozwiązanie (choć w pewnym stopniu wynika to z polecenia).
Zadanie [tex]5.[/tex]
Warunki:
Funkcja jest ciągła w [tex]R[/tex] \ [tex]\{1\}[/tex].
[tex]\lim_{x \to -\infty} f(x)=0\\ \lim_{x \to \infty} f(x)=-1\\ \lim_{x \to 1^{+}} f(x)=-\infty\\ \lim_{x \to 1^{-}} f(x)=\infty[/tex]
Funkcja ma jedno miejsce zerowe.
Przykład takiej funkcji w załączniku.
Jej wzór:
[tex]f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}-\frac{1}{x-1} \ dla \ x<1 \\0 \ dla \ x=1\\-\frac{1}{x-1}-1 \ dla \ x>1 \end{array}\right[/tex]
Zadanie [tex]6.[/tex]
Wykres funkcji w załączniku.
[tex]a)[/tex]
Badamy granice na krańcach przedziałów, w których funkcja jest określona:
[tex]\lim_{x \to 2^{-}} f(x)= -\frac{4}{3}-\frac{4}{3} +\frac{5}{3}=-1 \\ \lim_{x \to 2^{+}} f(x)=log_{0,5}2 =-1\\f(2)=-1[/tex]
Stąd:
[tex]\lim_{x \to 2} f(x)= -1\\\lim_{x \to 2} f(x)= f(2)[/tex]
Zatem funkcja jest ciągła w punkcie [tex]x=2[/tex].
Dalej mamy:
[tex]\lim_{x \to 8^{-}} f(x)= log_{0,5}8=-log_{2}8=-3\\\lim_{x \to 8^{+}} f(x)=\frac{1}{4} \cdot 8-5= -3\\f(8)=-3[/tex]
Stąd:
[tex]\lim_{x \to 8} f(x)=-3\\\lim_{x \to 8} f(x)=f(8)[/tex]
Zatem funkcja jest ciągła w punkcie [tex]x=8[/tex].
To kończy dowód o ciągłości funkcji [tex]f[/tex].
[tex]b)[/tex]
[tex]g(x)=-|f(x)|[/tex]
Rysujemy wykres funkcji [tex]g[/tex] (poprzez odpowiednie przekształcenia wykresu funkcji [tex]f[/tex])- załącznik.
Teraz:
[tex]-3\sqrt{2}[/tex] ≅ [tex]-4,24[/tex]
[tex]2\sqrt{2}[/tex] ≅ [tex]2,82[/tex]
Z wykresu odczytujemy szukane wartości:
[tex]g_{max}=0\\g_{min}=-2[/tex]
