Rozwiązanie:
Zadanie [tex]1[/tex].
[tex]y=4x^{2}lnx\\y'=8xlnx+\frac{4x^{2}}{x}=8xlnx+4x=4x(4lnx+1)[/tex]
Zadanie [tex]2.[/tex]
[tex]y=\frac{4x^{2}}{x-2}[/tex]
Dziedzina:
[tex]x-2\neq 0\\x\neq 2[/tex]
Pochodna:
[tex]y'=\frac{8x(x-2)-4x^{2}}{(x-2)^{2}}=\frac{4x^{2}-16x}{(x-2)^{2}}[/tex]
Zerujemy ją:
[tex]y'=0 \iff 4x^{2}-16x=0\\x^{2}-4x=0\\x(x-4)=0\\x=0 \vee x=4[/tex]
Szkicujemy schematyczny wykres pochodnej i odczytujemy (załącznik):
[tex]f'(x)>0 \ dla \ x \in (-\infty,0) \cup (4,\infty)\\f'(x)<0 \ dla \ x \in (0,2) \cup (2,4)[/tex]
Stąd mamy monotoniczność:
Funkcja rośnie dla [tex]x \in (\infty,0) \cup (4,\infty)[/tex]
Funkcja maleje dla [tex]x \in (0,2) \cup (2,4)[/tex]
Stąd ekstrema funkcji:
Funkcja przyjmuje maksimum lokalne dla [tex]x=0[/tex] i wynosi ono:
[tex]f(0)=0[/tex]
Funkcja przyjmuje minimum lokalne dla [tex]x=4[/tex] i wynosi ono:
[tex]f(4)=32[/tex]
Zadanie [tex]3.[/tex]
Najpierw obliczamy:
[tex]A^{T}=\left[\begin{array}{cc}2&-1\\4&2\\1&4\end{array}\right][/tex]
Zatem:
[tex]A^{T}B=\left[\begin{array}{cc}2&-1\\4&2\\1&4\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc}2&4\\-1&2\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}2 \cdot2 +(-1) \cdot (-1)&2 \cdot 4 + (-1) \cdot2\\4 \cdot 2 + 2 \cdot (-1)&4 \cdot 4+2 \cdot 2\\1 \cdot 2 +4 \cdot(-1)&1 \cdot 4 + 4 \cdot 2\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}5&6\\6&20\\-2&12\end{array}\right][/tex]
Zadanie [tex]4.[/tex]
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}x-2y+z=4\\2x+y-z=3\\3x-y+2z=7\end{array}\right[/tex]
Rozwiązujemy:
[tex]W=\left|\begin{array}{ccc}1&-2&1\\2&1&-1\\3&-1&2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1&-2&1\\2&1&-1\\3&-1&2\end{array}\right| \left\begin{array}{cc}1&-2\\2&1\\3&-1\end{array}\right=(2+6-2)-(3+1-8)=10[/tex]
Dalej mamy:
[tex]W_{x}=\left|\begin{array}{ccc}4&-2&1\\3&1&-1\\7&-1&2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}4&-2&1\\3&1&-1\\7&-1&2\end{array}\right| \left\begin{array}{cc}4&-2\\3&1\\7&-1\end{array}\right=(8+14-3)-(7+4-12)=20[/tex]
[tex]W_{y}=\left|\begin{array}{ccc}1&4&1\\2&3&-1\\3&7&2\end{array}\right| =\left|\begin{array}{ccc}1&4&1\\2&3&-1\\3&7&2\end{array}\right| \left\begin{array}{cc}1&4\\2&3\\3&7\end{array}\right=(6-12+14)-(9-7+16)=-10[/tex]
[tex]W_{z}=\left|\begin{array}{ccc}1&-2&4\\2&1&3\\3&-1&7\end{array}\right| \left\begin{array}{cc}1&-2\\2&1\\3&-1\end{array}\right=(7-18-8)-(12-3-28)=0[/tex]
Zatem:
[tex]x=\frac{W_{x}}{W}=2\\y=\frac{W_{y}}{W}= -1\\z=\frac{W_{z}}{W}=0[/tex]
