Odpowiedź:
Aby to udowodnić musimy w pełni znać wszystkie pojęcia i zagadnienia związane z tematem:
Czym jest pierwiastek?
To w matematyce operacja odwrotna względem potęgowania.
Jak go obliczyć?
Pierwiastka bardzo trudno nam obliczyć samemu, dlatego w większości przypadków podajemy go w przybliżeniu
Czym jest liczba niewymierna?
Liczba wymierna - to taka liczba, którą można zapisać w postaci ułamka zwykłego
----------------
Pierwszym argumentem, chociaż nie możemy nazwać go udowodnieniem jest nawiązanie do tego, że pierwiastek podajemy w przybliżeniu (1,41). Gdybyśmy jednak chcieli rozwiązać równanie ( [tex]\sqrt{2}[/tex] ) wynik jakibyśmy otrzymali ( 1,4142135623730950488016887242097.. ) byłby nie policzalny. Liczby wymierne mają to do siebie, że na końcu mają 0, czyli jakiś koniec. Widocznie w naszym problemie ( [tex]\sqrt{2}[/tex] ) nie widzimy zakończenia liczby. Cyfry po 1 bardzo się ciągną. Co możemy zapisać:
liczba √2 jest wymiera, wówczas:
√2 = p
, p,q∊ Z, q ≠ 0, p,q − liczby względnie pierwsze q
Podnieśmy obustronnie do kwadratu:
2 = p2
⇒ p2 =2q2 ⇒ 2|p2 ⇒ 2|p, zatem p = 2k wtedy: q2
4k2 = 2q2 ⇒ 2k2 = q2 ⇒ 2|q2 ⇒ 2|q ⇒ q = 2p, sprzeczność, ponieważ, p i q były względnie
pierwsze. Zatem liczba √2 jest niewymierna