Odpowiedź :
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]a^a-b\geq b^a-b\\\\(a, b) \ \in \mathbb{R_+}[/tex]
Niech [tex]a=1 \ \wedge \ b=2[/tex]
wtedy:
[tex]L=a^a-b=1^1-2=-1\\P=b^a-b=2^1-2=0[/tex]
więc:
[tex]L\ngeq P[/tex]
Powyższa nierówność nie jest tożsamością dla dowolnych liczb dodatnich rzeczywistych, nie jest więc możliwe jej dowiedzenie.
Jeżeli przyjmiemy (niezgodnie z Twoim zapisem):
[tex]a^{a-b}\geq b^{a-b}\\(a, b) \ \in \mathbb{R_+}[/tex]
zauważamy, że:
[tex]a=b^{\frac{\mathrm{ln}(a)}{\mathrm{ln}(b)}[/tex]
wstawiamy:
[tex]b^{\frac{\mathrm{ln}(a)}{\mathrm{ln}(b)}\cdot(a-b)}\geq b^{a-b}[/tex]
1. Rozważmy teraz warunek [tex]b<1 \ \wedge \ a< b[/tex]
[tex]b^{\frac{\mathrm{ln}(a)}{\mathrm{ln}(b)}\cdot(a-b)}\geq b^{a-b}[/tex]
[tex]{\frac{\mathrm{ln}(a)}{\mathrm{ln}(b)}\cdot(a-b)}\leq {a-b}[/tex]
dzielimy obustronnie przez [tex](a-b)<0[/tex]
[tex]{\frac{\mathrm{ln}(a)}{\mathrm{ln}(b)}\geq 1[/tex]
logarytm naturalny z [tex]b[/tex] jest zawsze ujemny ze względu na narzucony warunek więc:
[tex]\mathrm{ln}(a)\leq \mathrm{ln}(b)[/tex]
ponieważ [tex]b<1 \ \wedge \ a< b[/tex] powyższa nierówność jest zawsze prawdziwa.
2. Warunek [tex]b<1 \ \wedge \ a> b[/tex]
Wówczas po podzieleniu obustronnie przez [tex](a-b)>0[/tex] uzyskamy:
[tex]{\frac{\mathrm{ln}(a)}{\mathrm{ln}(b)}\leq 1[/tex]
logarytm naturalny z [tex]b[/tex] jest zawsze ujemny ze względu na narzucony warunek więc:
[tex]\mathrm{ln}(a)\geq \mathrm{ln}(b)[/tex]
ponieważ [tex]b<1 \ \wedge \ a> b[/tex] powyższa nierówność jest zawsze prawdziwa.
3. Warunek [tex]b>1 \ \wedge \ a< b[/tex]
[tex]b^{\frac{\mathrm{ln}(a)}{\mathrm{ln}(b)}\cdot(a-b)}\geq b^{a-b}[/tex]
[tex]{\frac{\mathrm{ln}(a)}{\mathrm{ln}(b)}\cdot(a-b)\geq {a-b}[/tex]
dzielimy obustronnie przez [tex](a-b)<0[/tex]
[tex]{\frac{\mathrm{ln}(a)}{\mathrm{ln}(b)}\leq 1[/tex]
logarytm naturalny z [tex]b[/tex] jest zawsze dodatni ze względu na narzucony warunek więc:
[tex]\mathrm{ln}(a)\leq \mathrm{ln}(b)[/tex]
ponieważ [tex]b>1 \ \wedge \ a< b[/tex] powyższa nierówność jest zawsze prawdziwa.
4. Warunek [tex]b>1 \ \wedge \ a> b[/tex]
Wówczas po podzieleniu obustronnie przez [tex](a-b)>0[/tex] uzyskamy:
[tex]{\frac{\mathrm{ln}(a)}{\mathrm{ln}(b)}\geq 1[/tex]
logarytm naturalny z [tex]b[/tex] jest zawsze dodatni ze względu na narzucony warunek więc:
[tex]\mathrm{ln}(a)\geq \mathrm{ln}(b)[/tex]
ponieważ [tex]b>1 \ \wedge \ a> b[/tex] powyższa nierówność jest zawsze prawdziwa.
5. Warunek [tex]b=1, \ a\in\mathbb{R_+}[/tex]
Nie możemy analizować tutaj wg powyższego wyprowadzenia. Wracamy do wyjściowego:
[tex]a^{a-1}\geq 1^{a-1}[/tex]
czyli:
[tex]\frac{a^a}{a} \geq 1[/tex]
[tex]a^a\geq a[/tex]
a) dla [tex]a<1[/tex]
[tex]a\leq 1[/tex]
Jest to zawsze prawda, gdyż nasza zmienna w tym podpunkcie jest mniejsza od jedynki.
b) dla [tex]a>1[/tex]
[tex]a\geq 1[/tex]
Jest to zawsze prawda, gdyż w tym warunku nasza zmienna jest zawsze większa od jedynki
c) dla [tex]a=1[/tex]
[tex]1^1\leq 1[/tex]
również jest to prawda.
6. Warunek [tex]a=b[/tex]
Widać tutaj od razu, że [tex]L=P[/tex], nierówność jest nieostra więc taka możliwość została dopuszczona.
Udowodniliśmy zatem, że nierówność wyjściowa jest prawdziwa dla [tex](a, b) \ \in \mathbb{R_+}[/tex]
