Zakładam, że liczba [tex]\sqrt3[/tex] jest liczbą wymierną, a więc da się ją zapisać w postaci [tex]\dfrac{a}{b}[/tex] gdzie [tex]a,b\in\mathbb{Z}[/tex] i [tex]b\not=0[/tex] i [tex]\text{NWD}(a,b)=1[/tex].
Zatem
[tex]\sqrt3=\dfrac{a}{b}\\\\3=\dfrac{a^2}{b^2}\\\\a^2=3b^2[/tex]
Z powyższego wynika, że liczba [tex]a^2[/tex] jest podzielna przez 3. Zatem, skoro [tex]a\in\mathbb{Z}[/tex], to również liczba [tex]a[/tex] jest podzielna przez 3.
Możemy zatem zapisać, że [tex]a=3k[/tex], gdzie [tex]k\in\mathbb{Z}[/tex].
Zastępując [tex]a[/tex] w równaniu [tex]a^2=3b^2[/tex] liczbą [tex]3k[/tex], otrzymujemy:
[tex](3k)^2=3b^2\\3b^2=9k^2\\b^2=3k^2[/tex]
Analogicznie jak w przypadku liczby [tex]a[/tex] - z powyższego wynika, że liczba [tex]b^2[/tex] jest podzielna przez 3. Skoro [tex]b\in\mathbb{Z}[/tex], to również i liczba [tex]b[/tex] jest podzielna przez 3.
Skoro obie liczby [tex]a[/tex] i [tex]b[/tex] są podzielne przez 3, to znaczy, że [tex]\text{NWD}(a,b)\not=1[/tex], co jest sprzeczne z wcześniejszym założeniem, że [tex]\text{NWD}(a,b)=1[/tex].
Zatem liczba [tex]\sqrt3[/tex] jest liczbą niewymierną.