Odpowiedź:
[tex]P=24[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Niech będzie to trójkąt [tex]ABC[/tex], taki że punkt [tex]P[/tex] jest środkiem odcinka [tex]AB[/tex], punkt [tex]Q[/tex] środkiem odcinka [tex]BC[/tex] oraz punkt [tex]R[/tex] środkiem odcinka [tex]AC[/tex]. Dodatkowo przyjmiemy, że:
[tex]A=(x_A \ ; \ y_A)\\B=(x_B \ ; \ y_B)\\C=(x_C \ ; \ y_C)[/tex]
Współrzędne środka odcinka o końcach w punktach [tex]S=(x_S \ ; \ y_s)[/tex] oraz [tex]O=(x_O \ ; \ y_O)[/tex] możemy zapisać jako:
[tex]\bigg(\frac{x_S+x_O}{2} \ ; \ \frac{y_S+y_O}{2} \bigg)[/tex]
Tak więc:
punkt [tex]P[/tex]:
[tex]2=x_A+x_B\\0=y_A+y_B[/tex]
punkt [tex]Q[/tex]:
[tex]-4=x_B+x_C\\6=y_B+y_C[/tex]
punkt [tex]R[/tex]:
[tex]-8=x_A+x_C\\2=y_A+y_C[/tex]
Mamy więc sześć równań i sześć niewiadomych. W zasadzie są to dwa układy równań, które mają po 3 równania i po 3 niewiadome. Możemy zastosować wzory Cramera (wyznaczniki szybko obliczymy z reguły Sarrusa).
Współrzędne odcięte:
[tex]X=\left|\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{array}\right|=2[/tex]
[tex]X_A=\left|\begin{array}{ccc}2&1&0\\-4&1&1\\-8&0&1\end{array}\right|=-2[/tex]
[tex]X_B=\left|\begin{array}{ccc}1&2&0\\0&-4&1\\1&-8&1\end{array}\right|=6[/tex]
[tex]X_C=\left|\begin{array}{ccc}1&1&2\\0&1&-4\\1&0&-8\end{array}\right|=-14[/tex]
Więc:
[tex]x_A=-1\\x_B=3\\x_C=-7[/tex]
Współrzędne rzędne:
[tex]Y=\left|\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{array}\right|=2[/tex]
[tex]Y_A=\left|\begin{array}{ccc}0&1&0\\6&1&1\\2&0&1\end{array}\right|=-4[/tex]
[tex]Y_B=\left|\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&6&1\\1&2&1\end{array}\right|=4[/tex]
[tex]Y_C=\left|\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&1&6\\1&0&2\end{array}\right|=8[/tex]
Więc:
[tex]y_A=-2\\y_B=2\\y_C=4[/tex]
Czyli:
[tex]A=(-1 \ ; \ -2)\\B=(3 \ ; 2)\\C=(-7 \ ; \ 4)[/tex]
Korzystamy z przekształconego wzoru Gaussa i obliczamy pole powierzchni trójkąta [tex]ABC[/tex]:
[tex]P_{ABC}=\frac{1}{2} \bigg|(3+1)(4+2)-(2+2)(-7+1)\bigg|=24[/tex]
