Rozwiązanie:
Ustalmy funkcję:
[tex]f(x)=\frac{1}{(1-x)^{4}}[/tex]
Obliczamy kilka pierwszych pochodnych funkcji [tex]f[/tex] :
[tex]f'(x)=\frac{4(1-x)^{3}}{(1-x)^{8}} =\frac{4}{(1-x)^{5}}[/tex]
[tex]f''(x)=\frac{20(1-x)^{4}}{(1-x)^{10}} =\frac{20}{(1-x)^{6}}[/tex]
[tex]f'''(x)=\frac{120(1-x)^{5}}{(1-x)^{12}} =\frac{120}{(1-x)^{7}}[/tex]
[tex]f^{(4)}(x)=\frac{840(1-x)^{6}}{(1-x)^{14}} =\frac{840}{(1-x)^{8}}[/tex]
Mamy:
[tex]f'(0)=4\\f''(0)=20\\f'''(0)=120\\f^{(4)}(0)=840[/tex]
Stąd:
[tex]\frac{f'(0)}{1!} =4\\\frac{f''(0)}{2!}=10\\\frac{f'''(0)}{3!}=20\\\frac{f^{(4)}(0)}{4!}=35[/tex]
Na podstawie powyższych rozważań łatwo zauważyć, że funkcja i pochodne tworzą następujący szereg:
[tex]1+4x+10x^{2}+20x^{3}+35x^{4}+56x^{5}+...[/tex]
Teraz będziemy chcieli zapisać go za pomocą sumy, w tym celu skorzystamy z tego, że:
[tex]\frac{1}{1-x} =\sum \limits^{\infty}_{n=0} x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+...[/tex]
Pytanie jest takie - jak dojść z [tex]\frac{1}{1-x}[/tex] do [tex]\frac{1}{(1-x)^{4}}[/tex]? Otóż można to zrobić tak:
[tex](1)[/tex] [tex]\frac{d}{dx} \frac{1}{(1-x)}=\frac{1}{(1-x)^{2}}[/tex]
[tex](2)[/tex] [tex]\frac{d}{dx} \frac{1}{(1-x)^{2}} =\frac{2}{(1-x)^{3}}[/tex]
[tex](3)[/tex] [tex]\frac{d}{dx} \frac{2}{(1-x)^{3}} =\frac{6}{(1-x)^{4}}[/tex]
[tex](4)[/tex] [tex]\frac{1}{6} \cdot \frac{6}{(1-x)^{4}}=\frac{1}{(1-x)^{4}}[/tex]
Zatem mamy:
[tex](1)[/tex] [tex]\frac{d}{dx} \left[\begin{array}{c}\sum \limits^\infty}_{n=0} x^{n}\end{array}\right]=\sum \limits^\infty}_{n=1} nx^{n-1}[/tex]
[tex](2)[/tex] [tex]\frac{d}{dx} \left[\begin{array}{c}\sum \limits^\infty}_{n=1} nx^{n-1}\end{array}\right]=\sum \limits^\infty}_{n=2} n(n-1)x^{n-2}[/tex]
[tex](3)[/tex] [tex]\frac{d}{dx } \left[\begin{array}{c}\sum \limits^\infty}_{n=2} n(n-1)x^{n-2}\end{array}\right] =\sum \limits^\infty}_{n=3} n(n-1)(n-2)x^{n-3}[/tex]
[tex](4)[/tex] [tex]\sum \limits^\infty}_{n=3} \frac{n(n-1)(n-2)x^{n-3}}{6}[/tex]
Teraz zmieniamy dolny indeks sumy:
[tex]\sum \limits^\infty}_{n=3} \frac{n(n-1)(n-2)x^{n-3}}{6}=\sum \limits^\infty}_{n=0} \frac{(n+3)(n+2)(n+1)x^{n}}{6}=\sum \limits^\infty}_{n=0} \frac{(n+1)(n+2)(n+3)x^{n}}{3!}[/tex]
To oznacza, że:
[tex]\frac{1}{(1-x)^{4}}=\sum \limits^\infty}_{n=0} \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3!}x^{n}[/tex]
co kończy dowód.
