Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{P=32\sqrt2\ cm^2}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Rysunek poglądowy w załączniku.
SPOSÓB 1:
Skorzystamy ze wzoru na pole trójkąta, w którym dany jest kąt i boki leżące przy tym kącie (załącznik 2).
[tex]P_\triangle=\dfrac{1}{2}ab\sin\alpha[/tex]
Ten romb jest złożony z dwóch takich trójkątów. Zatem jego pole będzie wynosić:
[tex]P=2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot8\cdot8\cdot\sin45^o=64\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=32\sqrt2(cm^2)[/tex]
SPOSÓB 2:
Skorzystamy z twierdzenia kosinusów (załącznik 3).
[tex]a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha[/tex]
Podstawiamy dane i obliczamy długość przekątnej [tex]d_1[/tex]:
[tex]d_1^2=8^2+8^2-2\cdot8\cdot8\cdot\cos45^o\\\\d_1^2=64+64-128\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}\\\\d_1^2=128-64\sqrt2\to d_1=\sqrt{128-64\sqrt2}\\\\d_1=\sqrt{64(2-\sqrt2)}\\\\d_1=8\sqrt{2-\sqrt2}[/tex]
Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy połowę długości przekątnej [tex]d_2[/tex]. Oznaczymy ją sobie przez [tex]x[/tex].
[tex]x^2+\left(\dfrac{8\sqrt{2-\sqrt2}}{2}\right)^2=8^2\\\\x^2+\left(4\sqrt{2-\sqrt2}\right)^2=64\\\\x^2+16(2-\sqrt2)=64\\\\x^2+32-16\sqrt2=64\qquad|-(32-16\sqrt2)\\\\x^2=32+16\sqrt2\to x=\sqrt{32+16\sqrt2}\\\\x=\sqrt{16(2+\sqrt2)}\\\\x=4\sqrt{2+\sqrt2}\to d_2=8\sqrt{2+\sqrt2}[/tex]
Teraz skorzystamy ze wzoru na pole rombu:
[tex]P=\dfrac{d_1d_2}{2}[/tex]
[tex]P=\dfrac{8\sqrt{2-\sqrt2}\cdot8\sqrt{2+\sqrt2}}{2}=\dfrac{64\sqrt{(2-\sqrt2)(2+\sqrt2)}}{2}\\\\=32\sqrt{2^2-(\sqrt2)^2}=32\sqrt{4-2}=32\sqrt2(cm^2)[/tex]
