Rozwiązanie:
Zadanie [tex]1.[/tex]
[tex]A= \ <log_{\sqrt{2} }2\sqrt{2}, 9^{log_{2}2}> \ = \ <log_{2^{\frac{1}{2} } }2^{\frac{3}{2} }, 9^{1}> \ = \ <3,9>[/tex]
[tex]B=(8^{-0,(6)}, 8^{0,(6)})=(8^{-\frac{2}{3} },8^{\frac{2}{3} })=(\frac{1}{4},4 )[/tex]
Stąd:
[tex]A \cup B=(\frac{1}{4},9>\\A \cap B=\ <3 ,4)\\[/tex]
[tex]A[/tex] \ [tex]B= \ <4,9>[/tex]
Zadanie [tex]2.[/tex]
[tex]|x-2|+\sqrt{x^{2}+2x+1} <5\\|x-2|+\sqrt{(x+1)^{2}} <5\\|x-2|+|x+1|<5[/tex]
Obliczamy miejsca zerowe modułów:
[tex]x=-1 \vee x=2[/tex]
Zatem będziemy rozpatrywać przypadki:
[tex]1^{\circ}[/tex] [tex]x \in (-\infty,-1)[/tex] :
[tex]-(x-2)-(x+1)<5\\-x+2-x-1-5<0\\-2x-4<0\\x+2>0\\x>-2\\x \in (-2,-1)[/tex]
[tex]2^{\circ}[/tex] [tex]x \in \ <-1,2)[/tex] :
[tex]-(x-2)+x+1<5\\-x+2+x+1-5<0\\-2<0\\x \in \ <-1,2)[/tex]
[tex]3^{\circ}[/tex] [tex]x \in \ <2,\infty)[/tex] :
[tex]x-2+x+1<5\\2x-6<0\\x-3<0\\x<3\\x \in \ <2,3)[/tex]
Zatem ostatecznie rozwiązaniem nierówności jest:
[tex]x \in (-2,3)[/tex]
