Odpowiedź:
[tex](x-3)^{2}+(y-4)^{2}=40[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Ustalmy prostą, która przechodzi przez punkty [tex]A[/tex] i [tex]B[/tex]. Obliczamy jej współczynnik kierunkowy:
[tex]a=\frac{2-2}{9+3} =0[/tex]
Wyznaczmy środek odcinka [tex]AB[/tex] :
[tex]S_{AB}=(\frac{-3+9}{2},\frac{2+2}{2})=(3,1)[/tex]
Zatem łatwo stwierdzić, że symetralna odcinka [tex]AB[/tex] jest dana równania:
[tex]x=3[/tex]
Podobnie jak wcześniej ustalmy prostą, która przechodzi przez punkty [tex]B[/tex] i [tex]C[/tex]. Obliczamy jej współczynnik kierunkowy:
[tex]a=\frac{10-2}{5-9} =-\frac{8}{4} =-2[/tex]
Zatem współczynnik prostej prostopadłej do tej prostej (czyli symetralnej odcinka [tex]BC[/tex]) wynosi [tex]\frac{1}{2}[/tex]. Wyznaczmy środek odcinka [tex]BC[/tex] :
[tex]S_{BC}=(\frac{9+5}{2},\frac{2+10}{2})=(7,6)[/tex]
Teraz wyznaczamy równanie symetralnej tego odcinka:
[tex]y=\frac{1}{2}x+b\\S_{BC}=(7,6)\\6=\frac{1}{2} \cdot 7+b\\6=\frac{7}{2}+b\\b=\frac{5}{2}\\y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}[/tex]
Teraz wyznaczamy środek okręgu, czyli punkt przecięcia się symetralnych:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}x=3\\y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2} \end{array}\right[/tex]
Stąd:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}x=3\\y=4 \end{array}\right[/tex]
Zatem środek okręgu jest w punkcie [tex]S=(3,4)[/tex]. Potrzebujemy jeszcze promienia okręgu, w tym celu obliczamy np. długość odcinka [tex]SC[/tex] :
[tex]r=|SC|=\sqrt{(5-3)^{2}+(10-4)^{2}} =\sqrt{4+36} =\sqrt{40}=2\sqrt{10}[/tex]
Zatem równanie szukanego okręgu to:
[tex](x-3)^{2}+(y-4)^{2}=40[/tex]
