Odpowiedź:
[tex]P,P,F,F[/tex]
Rozwiązanie:
Mamy:
[tex]C=(1,3)[/tex]
Ponadto punkt [tex]A[/tex] leży na prostej [tex]x-y=4 \iff y=x-4[/tex], więc jego współrzędne możemy zapisać jako [tex]A=(x,x-4)[/tex]. Wiemy też, że:
[tex]\vec{AB}=[4,3][/tex]
Stąd wynika, że współrzędne punktu [tex]B[/tex] można zapisać jako:
[tex]B=(x+4,x-1)[/tex]
Możemy zatem obliczyć:
[tex]|AB|=\sqrt{(x+4-x)^{2}+(x-1-x+4)^{2}} =\sqrt{4^{2}+3^{2}} =\sqrt{25} =5[/tex]
oraz:
[tex]|BC|=\sqrt{(1-x-4)^{2}+(3-x+1)^{2}} =\sqrt{(x+3)^{2}+(x-4)^{2}}[/tex]
[tex]|AC|=\sqrt{(1-x)^{2}+(3-x+4)^{2}} =\sqrt{(x-1)^{2}+(x-7 )^{2}}[/tex]
Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym [tex]ABC[/tex] :
[tex]5^{2}+(x-3)^{2}+(x-4)^{2}=(x-1)^{2}+(x-7)^{2}\\25+x^{2}-6x+9+x^{2}-8x+16=x^{2}-2x+1+x^{2}-14x+49\\50-14x=50-16x\\-14x=-16x\\2x=0\\x=0[/tex]
Stąd:
[tex]A=(0,-4)\\B=(4,-1)[/tex]
Teraz przystąpimy do rozstrzygnięcia poprawności zdań:
[tex](1)[/tex] Podstawmy współrzędne punktów [tex]A[/tex] i [tex]C[/tex] do równania przekątnej i sprawdźmy, czy spełniają one to równanie:
Dla [tex]A[/tex] :
[tex]-4=7 \cdot 0-4\\-4=-4\\L=P[/tex]
Dla [tex]C[/tex] :
[tex]3=7 \cdot 1 -4\\3=3\\L=P[/tex]
Zatem to zdanie jest prawdą.
[tex](2)[/tex] Podstawmy [tex]x=0[/tex], we wzorze na długość odcinka [tex]BC[/tex], a otrzymamy:
[tex]|BC|=\sqrt{(0+3)^{2}+(0-4)^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}} =\sqrt{25}=5=|AB|[/tex]
co oznacza, że prostokąt [tex]ABCD[/tex] jest kwadratem, a zdanie jest prawdą.
[tex](3)[/tex] Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej [tex]AB[/tex] :
[tex]a_{AB}=\frac{-1+4}{4-0} =\frac{3}{4}[/tex]
Teraz wyznaczmy równanie prostej [tex]CD[/tex] :
[tex]y=\frac{3}{4} x+b\\3=\frac{3}{4} \cdot 1 +b\\b=\frac{9}{4} \\y=\frac{3}{4}x+\frac{9}{4}[/tex]
Zatem [tex]D=(x,\frac{3}{4}x+\frac{9}{4})[/tex] oraz [tex]\vec{AD}=[-3,4][/tex]. Stąd:
[tex]\vec{AD}=[x,\frac{3}{4}x+\frac{9}{4}+4]=[-3,4]\\x+3=-3\\x=-3 \Rightarrow \frac{3}{4}x+\frac{9}{4}=0[/tex]
Czyli [tex]D=(-3,0)[/tex], a zdanie jest fałszywe.
[tex](4)[/tex] Podstawmy współrzędne punktu [tex]B[/tex] do równania przekątnej:
[tex]-1\neq -\frac{1}{7} \cdot 4-\frac{2}{7} \\-1\neq -\frac{6}{7}\\L\neq P[/tex]
Zatem zdanie jest fałszywe.
