Rozwiązanie:
Rozpiszmy kilka kolejnych potęg cyfry [tex]3[/tex] :
[tex]3^{1}=3\\3^{2}=9\\3^{3}=27\\3^{4}=81\\3^{5}=243[/tex]
Zatem co czwarta potęga cyfry [tex]3[/tex] ma na końcu [tex]3[/tex].
Podobnie postępujemy z cyfrą [tex]7[/tex] :
[tex]7^{1}=7\\7^{2}=49\\7^{3}=343\\7^{4}=2401\\7^{5}=16807[/tex]
Zatem co czwarta potęga cyfry [tex]7[/tex] ma na końcu [tex]7[/tex].
Obliczmy teraz ostatnią cyfrę liczby [tex]123^{123}[/tex] (potęgi liczby [tex]123[/tex] mają takie same końcówki jak cyfry [tex]3[/tex]):
[tex]123^{123}=123^{1+120+2}[/tex]
Stąd wynika, że ostatnią cyfrą liczby [tex]123^{121}[/tex] jest [tex]3[/tex], a zgodnie ze wzorem ostatnią cyfrą liczby [tex]123^{123}[/tex] jest [tex]7[/tex].
Podobnie robimy z liczbą [tex]57^{57}[/tex]:
[tex]57^{57}=57^{1+56}[/tex]
Stąd wynika, że ostatnia cyfra tej liczby to [tex]7[/tex].
Teraz możemy obliczyć ostatnią cyfrę liczby [tex]123^{123}-57^{57}[/tex], będzie nią:
[tex]7-7=0[/tex], co oznacza, że ta liczba jest podzielna przez [tex]10[/tex]. To kończy dowód.
