Rozwiązanie:
Rysunek w załączniku.
Z twierdzenia cosinusów w trójkącie [tex]\Delta ADC[/tex] mamy:
[tex]4^{2}=x^{2}+(\sqrt{31} )^{2}-2 \cdot \sqrt{31} \cdot x \cdot cos\alpha \\16=x^{2}+31-2\sqrt{31}x \cdot cos\alpha[/tex]
Z twierdzenia cosinusów w trójkącie [tex]\Delta BDC[/tex] mamy:
[tex]8^{2}=x^{2}+(\sqrt{31} )^{2}-2 \cdot \sqrt{31} \cdot x \cdot cos(180^{\circ}-\alpha )\\64=x^{2}+31-2\sqrt{31}x \cdot (-cos\alpha )\\ 64=x^{2}+31+2\sqrt{31}x \cdot cos\alpha[/tex]
Zatem mamy układ równań:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}16=x^{2}+31-2\sqrt{31}x \cdot cos\alpha\\64=x^{2}+31+2\sqrt{31}x \cdot cos\alpha\end{array}\right[/tex]
Po odjęciu stronami:
[tex]-48=-4\sqrt{31} x \cdot cos\alpha \\cos\alpha =\frac{48}{4\sqrt{31} x}[/tex]
Wstawiamy to do pierwszego równania:
[tex]16=x^{2}+31-2\sqrt{31}x \cdot \frac{48}{4\sqrt{31}x }\\16=x^{2}+31-24\\16=x^{2}+7\\x^{2}=9\\x=3[/tex]
Stąd:
[tex]|AB|=2x=6[/tex]
