Rozwiązane

O trójkącie ABC wiemy że kąt BAC =120°, |AC| = 5 oraz |AB| + |BC| = 10
A) Wyznacz długości boków AB i BC
B) oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie ABC
C) wyznacz przybliżone miary kątów ostrych tego trójkąta ​



Odpowiedź :

Unicorn05

Odpowiedź:

                  a)  |AB| = 3 ,   |BC| = 7

                  b)  [tex]\bold{R=\dfrac{28\sqrt3}{3}}[/tex]

                  c)  |∡ABC| = 38° ,   |∡ACB| = 22°

Szczegółowe wyjaśnienie:

Skoro |AB| + |BC| = 10, to |BC| = 10 - |AC|

|AC| = 5

Dla ułatwienia zapisów oznaczmy:  |AB| = x

Wtedy: |BC| = 10 - x

Dany jest kąt |∡BAC| = 120°.

a)

Bok naprzeciw ∡BAC to |BC|, czyli z twierdzenia cosinusów mamy:

|BC|² = |AB|² + |AC|² - 2|AB||AC| cos∡BAC

(10 - x)² = x² + 5² - 2·x·5·cos120°

100 - 20x + x² = x² + 25 - 10xcos(180° - 60°)        /-x²

100 - 20x = 25 + 10xcos60°               /-100

-20x = -75 + 10x·¹/₂                /-5x

-25x = -75                  /:(-25)

  x = 3

|AB| = 3

|BC| = 10 - x = 10 - 3 = 7

b)

R - promień okręgu opisanego na trójkącie ABC

Z twierdzenia sinusów wiemy, że:  [tex]\bold{2R=\dfrac{|BC|}{\sin\angle BAC}}[/tex]

Zatem:

    [tex]\bold{R=\dfrac{2|BC|}{\sin\angle BAC}}\\\\\bold{R=\dfrac{2\cdot7}{\sin120^o}=\dfrac{14}{\sin(180^o-60^o)}=\dfrac{14}{\sin60^o}=\dfrac{14}{\frac{\sqrt3}2}=14\cdot\dfrac2{\sqrt3}=\dfrac{28\sqrt3}{3}}[/tex]

c)

Również z twierdzenia sinusów mamy:  [tex]\bold{\dfrac{|AB|}{\sin\angle ACB}=\dfrac{|BC|}{\sin\angle BAC}}[/tex]

Czyli:

       [tex]\bold{\dfrac{3}{\sin\angle ACB}=\dfrac{7}{\sin120^o}}\\\\ \bold{3\sin120^o=7\sin\angle ACB} \\\\\bold{3\cdot\frac{\sqrt3}2=7\sin\angle ACB\qquad/:7}\\\\ \bold{\sin\angle ACB=\frac{3\sqrt3}2\cdot\frac17= \frac{3\sqrt3}{14}\approx0,3712\quad\implies\quad|\angle ACB|\approx22^o}\\\\ \bold {|\angle ABC|\approx180^o-120^o-22^o=38^o}[/tex]

Inne Pytanie