Odpowiedź:
[tex]4(\frac{5}{3}\pi -1)[/tex] i [tex]\frac{28}{3}\pi +4[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Rysunek w załączniku.
Najpierw z twierdzenia cosinusów obliczamy miarę kąta [tex]\alpha[/tex] :
[tex](4\sqrt{2+\sqrt{3} } )^{2}=4^{2}+4^{2}-2 \cdot 4^{2} \cdot cos\alpha \\16(2+\sqrt{3})=16+16-32cos\alpha \\32+16\sqrt{3} =32-32cos\alpha \\16\sqrt{3}=-32cos\alpha \\cos\alpha =\frac{16\sqrt{3} }{-32} =-\frac{\sqrt{3} }{2} \\\alpha =arccos(-\frac{\sqrt{3} }{2})=150^{\circ}[/tex]
Teraz obliczamy pole trójkąta [tex]ASB[/tex] :
[tex]P_{ASB}=\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \cdot sin(150^{\circ})=8 \cdot sin(30^{\circ})=8 \cdot \frac{1}{2}=4[/tex]
Obliczamy pole wycinka koła zakreślonego przez kąt [tex]\alpha[/tex] :
[tex]P_{W}=\frac{150^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot \pi \cdot 4^{2}=\frac{15}{36} \cdot 16 \cdot \pi =\frac{20}{3}\pi[/tex]
Obliczamy pole górnego odcinka koła :
[tex]P_{1}=\frac{20}{3}\pi -4=4(\frac{5}{3}\pi -1)[/tex]
Obliczamy pole drugiego odcinka koła :
[tex]P_{2}=\pi \cdot 4^{2}-(\frac{20}{3}\pi -4 )=16\pi -\frac{20}{3}\pi +4=\frac{28}{3}\pi +4[/tex]
