Odpowiedź:
[tex]\frac{2^{2020}+3^{2019}+4^{2018} }{5}[/tex]
Aby znaleźć resztę wystarczy nam ostatnia cyfra sumy.
Ostatnia cyfra [tex]2^{2020}[/tex] to 6, [tex]3^{2019}[/tex] to 7, [tex]4^{2018}[/tex] to 6
6 + 7 + 6 = 19, więc ostatnią cyfrą sumy będzie 9
[tex]9:5 = 1 \: \:r.4[/tex]
więc szukana reszta to 4
Szczegółowe wyjaśnienie:
Jak znaleźć ostatnią cyfrę [tex]2^{2020}[/tex]?
Kolejne potęgi 2 to 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128... jak widać ostatnia cyfra powtarza się w kolejności 2, 4, 8, 6, aby znaleźć ostatnią cyfre [tex]2^{2020}[/tex] należy wyliczyć resztę dzielenia 2020 przez 4, jeżeli reszta wyniesie 1 to ostatnią cyfrą jest 2, jeżeli 2 to jest to 4, jeżeli 3 to 8, a jeśli 0 to będzie to 6
analogicznie szukamy ostatnich cyfr [tex]3^{2019}[/tex] i [tex]4^{2018}[/tex]
[tex]2^{2020}+3^{2019}+4^{2018}[/tex]
[tex]2^1=2\\2^2=4\\2^3=8\\2^4=16\\2^5=...2\\2^6=...4\\2^7=...8\\2^8=...6\\2^9=...2\\\\2^n\\\text{Zasada: liczba jednosci co czwartej liczby sie powtarza}\\\text{Dla potegi o wykladniku podzielnym przez 4 liczba jednosci bedzie rowna 6}\\\text{Dla wykladnika,ktory po podzieleniu przez 4 daje reszte = 1; 2}\\\text{Gdy }n:4=...~r.~2;\text{ 4}\\\text{Gdy }n:4=...~r.~3;\text{ 8}\\\\2^{2020}=?\\2020:4=5~r.0\\2^{2020}=...6[/tex]
[tex]\\\\3^1=3\\3^2=9\\3^3=27\\3^4=...1\\3^5=...3\\\\3^n\\\text{Zasada: liczba jednosci co czwartej liczby sie powtarza}\\\text{Gdy }n:4=...~r.~0;\text{ liczba jednosci to 1}\\\text{Gdy }n:4=...~r.~1;\text{ 3}\\\text{Gdy }n:4=...~r.~2;\text{ 9}\\\text{Gdy }n:4=...~r.~3;\text{ 7}\\\\3^{2019}=?\\2019:4=504~r.3\\3^{2019}=...7[/tex]
[tex]\\\\4^1=4\\4^2=16\\4^3=...4\\4^4=...6\\3^5=...4\\\\4^n\\\text{Zasada: liczba jednosci co drugiej liczby sie powtarza}\\\text{Gdy }n:2=...~r.~0;\text{ liczba jednosci to 6}\\\text{Gdy }n:2=...~r.~1;\text{ 4}\\\\4^{2018}=?\\2018:2=1009~r.0\\4^{2019}=...6[/tex]
[tex]\bold{2^{2020}+3^{2019}+4^{2018}=...6+...7+...6=...9}\\\bold{...9:5=...~r.4}[/tex]
Odp. Otrzymamy 4 reszty