Cześć!
[tex]5^{x^2-7x+12} \geq 1[/tex]
Powyższa nierówność jest przykładem nierówności wykładniczej, czyli takiej, w której [tex]x[/tex] występuje tylko w wykładniku potęgi.
Liczbę [tex]1[/tex] możemy zapisać inaczej jako [tex]5^0[/tex], zatem:
[tex]5^{x^2-7x+12} \geq 5^0[/tex]
Jeżeli podstawa potęgi [tex]a[/tex] należy do przedziału [tex]a \in (0;1)[/tex], to ze względu na to, że w tym przedziale funkcja wykładnicza jest malejąca, to dla dwóch wykładników [tex]f(x)[/tex] i [tex]g(x)[/tex] zachodzi:
[tex]a^{f(x)} < b^{g(x)} \iff f(x)>g(x)\\\\a^{f(x)} > b^{g(x)} \iff f(x)<g(x)\\\\a^{f(x)} \leq b^{g(x)} \iff f(x)\geq g(x)\\\\a^{f(x)} \geq b^{g(x)} \iff f(x)\leq g(x)[/tex]
Jeżeli podstawa potęgi [tex]a[/tex] należy do przedziału [tex]a \in (1; +\infty)[/tex], to ze względu na to, że w tym przedziale funkcja wykładnicza jest rosnąca, to dla dwóch wykładników [tex]f(x)[/tex] i [tex]g(x)[/tex] zachodzi:
[tex]a^{f(x)} < b^{g(x)} \iff f(x)<g(x)\\\\a^{f(x)} > b^{g(x)} \iff f(x)>g(x)\\\\a^{f(x)} \leq b^{g(x)} \iff f(x)\leq g(x)\\\\a^{f(x)} \geq b^{g(x)} \iff f(x)\geq g(x)[/tex]
U nas [tex]a=5>1[/tex], zatem na podstawie monotoniczności funkcji wykładniczej:
[tex]5^{x^2-7x+12} \geq 5^0 \iff x^2-7x+12 \geq 0[/tex]
Ze wzorów Viete'a:
[tex]\frac{c}{a} = x_1 \cdot x_2 \Longrightarrow x_1x_2=12 \ \ \wedge \ \ \frac{-b}{a} =x_1+x_2 \Longrightarrow x_1+x_2=7[/tex], a te warunki zachodzą wtedy, gdy [tex]x_1=3[/tex] i [tex]x_2=4[/tex], zatem:
[tex]5^{x^2-7x+12} \geq 5^0 \iff x^2-7x+12 \geq 0 \iff (x-3)(x-4)\geq 0[/tex]
Ramiona paraboli skierowane są do góry, kółeczka zamalowane, wartości nieujemne osiągane są dla [tex]x \in (-\infty; 3\rangle \ \cup \ \langle4; +\infty)[/tex]
Pozdrawiam!
